škola energie&životní prostředí

Čísla přírody: Fibonacciho posloupnost

Fibonacciho posloupnost vždy přitahovala pozornost lidí, protože kromě toho, že má zvláštní matematické vlastnosti, jiná čísla tak všudypřítomná jako Fibonacciho se nikde jinde v matematice nevyskytují: objevují se v geometrii, algebře, teorii čísel, v mnoha dalších oblastech matematiky a dokonce i v přírodě! Pojďme společně zjistit, co to je …

Život Fibonacciho
Leonardo Pisano, zvaný Fibonacci (Fibonacci znamená filius Bonacii), se narodil v Pise kolem roku 1170. Jeho otec, Guglielmo dei Bonacci, bohatý pisánský kupec a zástupce kupců Pisánské republiky v oblasti Bugia v Cabilia (v dnešním severovýchodním Alžírsku), vzal po roce 1192 svého syna k sobě, protože chtěl, aby se Leonardo stal kupcem.

Dal tedy Leonarda studovat pod vedením muslimského učitele, který ho vedl k tomu, aby se naučil výpočetní techniky, zejména ty, které se týkaly indoarabských čísel, jež v Evropě ještě nebyly zavedeny. Fibonacciho vzdělávání začalo v Bejaie a pokračovalo také v Egyptě, Sýrii a Řecku, tedy v místech, která navštívil se svým otcem podél obchodních cest, než se kolem roku 1200 vrátil natrvalo do Pisy. Následujících 25 let se Fibonacci věnoval psaní matematických rukopisů: z nich jsou dnes známy Liber Abaci (1202), díky němuž se Evropa dozvěděla o indoarabských číslech, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) a Liber Quadratorum (1225).
Leonardova pověst matematika se stala tak velkou, že ho císař Federico II. v roce 1225 při návštěvě Pisy požádal o audienci. Po roce 1228 není o Leonardově životě mnoho známo, kromě toho, že mu byl udělen titul „Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo“ jako uznání velkého pokroku, kterého dosáhl v matematice. Fibonacci zemřel někdy po roce 1240, pravděpodobně v Pise.

Fibonacciho králíci a slavná posloupnost
Liber Abaci kromě odkazu na indoarabská čísla, která následně nahradila římské číslice, obsahovaly také rozsáhlou sbírku úloh určených obchodníkům, týkajících se cen výrobků, výpočtu zisku z obchodu, přepočtu měny na různé mince používané ve středomořských státech, jakož i dalších problémů čínského původu. Vedle těchto obchodních problémů existovaly i další, mnohem známější, které měly rovněž velký vliv na pozdější autory. Mezi nimi je nejznámější, zdroj inspirace pro mnoho matematiků pozdějších staletí, následující: „Kolik párů králíků se narodí za rok, počínaje jedním párem, jestliže každý měsíc každý pár porodí nový pár, který se od druhého měsíce stane reprodukčním?“. Řešením tohoto problému je slavná „Fibonacciho posloupnost“: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… posloupnost čísel, v níž každý člen je součtem předchozích dvou.

Důležitou vlastností posloupnosti je skutečnost, že poměr mezi libovolným číslem a předchozím číslem v řadě směřuje k přesně definované hodnotě: 1,618… Jedná se o zlatý řez neboli zlatý poměr, φ (Phi), který se často vyskytuje v přírodě (chcete-li se o něm dozvědět více: Dokonalost hlemýždě).
Když Fibonacci tuto posloupnost ilustroval jako řešení problému „rekreační matematiky“, nepřikládal jí zvláštní význam. Teprve v roce 1877 publikoval matematik Édouard Lucas řadu důležitých studií o této posloupnosti, o níž tvrdil, že ji našel v Liber Abaci a kterou na počest autora nazval „Fibonacciho posloupnost“. Studie se následně množily a byly objeveny četné a nečekané vlastnosti této posloupnosti do té míry, že od roku 1963 vychází časopis věnovaný výhradně jí, „The Fibonacci quarterly“.

Fibonacciho posloupnost v přírodě
Při pozorování geometrie rostlin, květin nebo plodů lze snadno rozpoznat přítomnost opakujících se struktur a forem. Fibonacciho posloupnost hraje například zásadní roli ve fylotaxi, která studuje uspořádání listů, větví, květů nebo semen u rostlin, přičemž hlavním cílem je poukázat na existenci pravidelných vzorů. Různá uspořádání přírodních prvků se řídí překvapivými matematickými zákonitostmi: D’arcy Thompson si všiml, že rostlinná říše má zvláštní oblibu určitých čísel a určitých spirálových geometrií a že tato čísla a geometrie spolu úzce souvisejí.
Čísla Fibonacciho posloupnosti můžeme snadno najít ve spirálách tvořených jednotlivými květy ve složených květenstvích sedmikrásek, slunečnic, květáku a brokolice.

Byl to Kepler, kdo si všiml, že na mnoha druzích stromů jsou listy uspořádány ve vzoru, který zahrnuje dvě Fibonacciho čísla. Počínaje libovolným listem se po jedné, dvou, třech nebo pěti otáčkách spirály vždy objeví list zarovnaný s prvním a v závislosti na druhu to bude druhý, třetí, pátý, osmý nebo třináctý list.

Další jednoduchý příklad, ve kterém je možné najít Fibonacciho posloupnost v přírodě, je dán počtem okvětních lístků květů. Většina z nich má tři (například lilie a kosatce), pět (parnasie, šípky) nebo osm (kosmatec), 13 (některé sedmikrásky), 21 (čekanka), 34, 55 nebo 89 (hvězdnice). Tato čísla jsou součástí slavné Fibonacciho posloupnosti popsané v předchozím odstavci.

By Benedetta Palazzo

.