Kruhový pohyb

Považujme částici, která se pohybuje po obvodu kružnice rovnoměrnou rychlostí tak, že každou hodinu vykoná jednu úplnou otáčku. Abychom pohyb popsali matematicky, sestrojíme ze středu kružnice k částici vektor. Tento vektor pak každou hodinu vykoná jednu úplnou otáčku. Jinými slovy, vektor se chová přesně jako velká ručička na náramkových hodinkách, šipka pevné délky, která každou hodinu udělá jednu úplnou otáčku. Pohyb bodu vektoru je příkladem rovnoměrného pohybu po kružnici a perioda T tohoto pohybu je rovna jedné hodině (T = 1 h). Šipka vymetá úhel 2π radiánů (jeden úplný kruh) za hodinu. Tato rychlost se nazývá úhlová frekvence a zapisuje se ω = 2π h-1. Zcela obecně, pro rovnoměrný kruhový pohyb v libovolné rychlosti,

Tyto definice a vztahy jsou stejné jako pro harmonický pohyb, o kterém jsme hovořili výše.

Uvažujme soustavu souřadnic, jak je znázorněna na obrázku 8A, se středem kružnice v počátku. V libovolném časovém okamžiku lze polohu částice určit zadáním poloměru r kružnice a úhlu θ mezi polohovým vektorem a osou x. V tomto případě je možné zadat polohu částice v libovolném časovém okamžiku. Přestože r je konstantní, θ se rovnoměrně zvětšuje s časem t, takže θ = ωt neboli dθ/dt = ω, kde ω je úhlová frekvence v rovnici (26). Na rozdíl od případu náramkových hodinek je však ω při otáčení proti směru hodinových ručiček podle konvence kladné. Vektor r má složky x a y dané vztahem

Jedním z významů rovnic (27) a (28) je, že když částice koná rovnoměrný kruhový pohyb, její složky x a y konají každá jednoduchý harmonický pohyb. Nejsou však navzájem ve fázi: v okamžiku, kdy má složka x maximální amplitudu (řekněme při θ = 0), má složka y nulovou amplitudu a naopak.

V krátkém čase Δt se částice pohybuje rΔθ po obvodu kružnice, jak je znázorněno na obrázku 8B. Průměrná rychlost částice je tedy dána vztahem

Průměrná rychlost částice je vektor daný vztahem

Tato operace odečítání vektorů je naznačena na obrázku 8B. Jejím výsledkem je vektor, který je téměř kolmý na r(t) a r(t + Δt). Okamžitá rychlost, kterou najdeme, když necháme Δt smrsknout na nulu, je totiž vektor v, který je v každém okamžiku kolmý na r a jehož velikost je

Vztah mezi r a v je znázorněn na obrázku 8C. Znamená to, že okamžitá rychlost částice je vždy tečnou ke kružnici.

Poznamenejme, že stejně jako lze polohový vektor r popsat pomocí složek x a y daných rovnicemi (27) a (28), lze vektor rychlosti v popsat pomocí jeho projekcí na osy x a y. V tomto případě se jedná o vektor rychlosti, který se promítá do osy x, daných vztahem

Představte si nový souřadnicový systém, ve kterém z počátku vychází vektor délky ωr a ukazuje vždy stejným směrem jako v. Tato konstrukce je znázorněna na obrázku 8D. Pokaždé, když částice vymetá celou kružnici, vymetá tento vektor také celou kružnici. Ve skutečnosti jeho bod vykonává rovnoměrný kruhový pohyb se stejnou úhlovou frekvencí jako samotná částice. Protože vektory mají velikost a směr, ale ne polohu v prostoru, je sestrojeným vektorem rychlost v. Rychlost částice sama vykonává rovnoměrný kruhový pohyb s úhlovou frekvencí ω.

Ačkoli je rychlost částice konstantní, částice je přesto zrychlená, protože její rychlost neustále mění směr. Zrychlení a je dáno vztahem

Protože v je vektor délky rω vykonávající rovnoměrný kruhový pohyb, lze rovnice (29) a (30) opakovat, jak je znázorněno na obrázku 8E, což dává

Takto, lze usoudit, že okamžité zrychlení je vždy kolmé na v a jeho velikost je

Protože v je kolmé na r a a je kolmé na v, vektor a je vzhledem k r otočen o 180°. Jinými slovy, zrychlení je rovnoběžné s r, ale v opačném směru. Ke stejnému závěru lze dojít, když si uvědomíme, že a má složky x a y dané vztahy

podobnými rovnicím (32) a (33). Porovnáme-li rovnice (38) a (39) s rovnicemi (27) a (28) pro x a y, je zřejmé, že složky a jsou právě složky r násobené -ω2, takže a = -ω2r. Toto zrychlení se nazývá dostředivé zrychlení, což znamená, že směřuje dovnitř, podél vektoru poloměru ke středu kružnice. Někdy je užitečné vyjádřit dostředivé zrychlení pomocí rychlosti v. Použijeme v = ωr, můžeme psát