Co se stane, když do obvodu zapojíte induktor a kondenzátor? Něco docela zajímavého–a vlastně důležitého.
Co je to induktor?
Můžete vyrobit nejrůznější typy induktorů, ale nejběžnějším typem je válcová cívka z drátu–solenoid.
Když první smyčkou prochází proud, vytváří magnetické pole, které prochází dalšími smyčkami. Magnetické pole ve skutečnosti nic nedělá, pokud se nezmění jeho velikost. Měnící se magnetické pole vytvoří v ostatních smyčkách elektrické pole. Směr tohoto elektrického pole způsobí změnu elektrického potenciálu, který se chová jako baterie.
V konečném důsledku máme zařízení, které má rozdíl potenciálů úměrný časové rychlosti změny proudu (protože proud vytváří magnetické pole). To lze zapsat jako:
V této rovnici je třeba upozornit na dvě věci. Za prvé, L je indukčnost. Ta závisí pouze na geometrii cívky (nebo jakéhokoli tvaru, který máte) a její hodnota se měří v Henryho jednotkách. Za druhé je zde záporné znaménko. To znamená, že změna potenciálu na cívce působí proti změně proudu.
Jak se chová cívka v obvodu? Pokud máte konstantní proud, pak nedochází k žádné změně (stejnosměrný proud), a tedy ani k žádnému rozdílu potenciálů na induktoru – chová se, jako by tam ani nebyl. Pokud je v obvodu proud o vysoké frekvenci (střídavý obvod), pak bude na induktoru velký rozdíl potenciálů.
Co je to kondenzátor?
Znovu připomínám, že existuje mnoho různých konfigurací kondenzátoru. Nejjednodušší tvar používá dvě paralelní vodivé desky s elektrickým nábojem na každé desce (ale s nulovým čistým nábojem).
Elektrický náboj na těchto deskách vytváří uvnitř kondenzátoru elektrické pole. Protože existuje elektrické pole, musí také dojít ke změně elektrického potenciálu napříč deskami. Hodnota tohoto rozdílu potenciálů závisí na množství náboje. Rozdíl potenciálů napříč kondenzátorem lze zapsat jako:
Zde C je hodnota kapacity v jednotkách faradů — závisí také pouze na fyzikálním uspořádání zařízení.
Prochází-li kondenzátorem proud, změní se hodnota náboje na deskách. Pokud je tam konstantní (nebo nízkofrekvenční) proud, bude tento proud nadále přidávat náboj na desky a zvyšovat tak elektrický potenciál, takže se tento potenciál nakonec bude časem chovat jako otevřený obvod s napětím kondenzátoru rovným napětí baterie (nebo zdroje). Pokud budete mít vysokofrekvenční proud, náboj se bude do desek v kondenzátoru jak přidávat, tak z nich odebírat, aniž by se náboj nahromadil, a kondenzátor se bude chovat, jako by tam ani nebyl.
Co se stane, když spojíte kondenzátor a induktor?
Předpokládejme, že začneme s nabitým kondenzátorem a připojíme ho k induktoru (v obvodu není žádný odpor, protože používám dokonalé fyzikální vodiče). Zamyslete se nad okamžikem, kdy jsou tyto dva prvky spojeny. Předpokládejme, že existuje spínač, pak mohu nakreslit následující schémata.
Tady se děje to, co se děje. Nejprve není žádný proud (protože spínač je rozepnutý). Jakmile je spínač sepnutý, může vzniknout proud a bez odporu by tento proud vyskočil až do nekonečna. Tento velký nárůst proudu však znamená, že dojde ke změně elektrického potenciálu vytvořeného na induktoru. V určitém okamžiku bude změna potenciálu na induktoru větší než na kondenzátoru (protože kondenzátor s průtokem proudu ztrácí náboj) a pak proud obrátí směr a kondenzátor se opět nabije. Proces se opakuje–navždy, protože neexistuje žádný odpor.
Modelování LC obvodu.
Říká se mu LC obvod, protože má induktor (L) a kondenzátor (C)—hádám, že je to jasné. Změna elektrického potenciálu kolem celého obvodu musí být nulová (protože je to smyčka), takže mohu napsat:
Kromě Q i I se mění s časem. Mezi Q a I je souvislost v tom, že proud je časová rychlost změny, kterou náboj opouští kondenzátor.
Teď mám diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou náboj. Řešení této rovnice není tak obtížné – vlastně mohu řešení jen odhadnout.
Je to v podstatě stejné jako řešení pro hmotu na pružině (až na to, že v tomto případě se mění poloha, nikoliv náboj). Ale počkejte! Řešení nemusíme hádat, tuto úlohu lze vyřešit i numerickým výpočtem. Začnu s následujícími hodnotami:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (tuto hodnotu získáte z počátečního potenciálu a kapacity)
Pro numerické řešení rozdělím úlohu na malé časové kroky. Během každého časového kroku budu:
- Použít výše uvedenou diferenciální rovnici k výpočtu druhé časové derivace náboje (budu ji nazývat ddQ).
- Teď, když znám ddQ, mohu použít malý časový krok k výpočtu derivace náboje (dQ).
- Pomocí hodnoty dQ zjistím novou hodnotu Q.
- Prodlužuju čas a pokračuju, dokud mě to nezačne nudit.
Tady je tento výpočet v Pythonu (kliknutím na tlačítko play ho spustíte).
Myslím, že je to docela fajn. Ještě lepší je, že můžeš změřit periodu kmitání tohoto obvodu (najeď myší a najdi hodnoty pro čas) a pak ji porovnat s očekávanou úhlovou frekvencí pomocí:
Samozřejmě můžeš v tom programu něco změnit a podívat se, co se stane — klidně, nic trvale neporušíš.
Včetně odporu—LRC obvodu
Výše uvedený model nebyl realistický. Skutečné obvody (zejména dlouhé vodiče v induktoru) mají odpor. Pokud bych chtěl tento odpor zahrnout do svého modelu, obvod by vypadal takto:
To změní rovnici napěťové smyčky. Nyní v ní bude také člen pro úbytek potenciálu na rezistoru.
Můžu opět využít spojení mezi nábojem a proudem a získat následující diferenciální rovnici:
S přidáním rezistoru se tato rovnice stává mnohem složitější a nemůžeme jen tak „odhadnout“ řešení. Nemělo by však být příliš obtížné upravit náš výše uvedený numerický výpočet tak, aby tento problém vyřešil. Opravdu jediné, co se změní, je řádek, ve kterém se počítá druhá derivace náboje. Tam jsem přidal člen, který zohledňuje odpor (ale ne první řád). Při použití odporu 3 Ohmy dostávám následující výsledek (pro spuštění opět stiskněte tlačítko play):
Můžete vyzkoušet několik věcí:
- Změňte hodnotu odporu. Pokud je hodnota příliš vysoká, proud zanikne ještě dříve, než se objeví oscilace.
- Co když chcete místo napětí na kondenzátoru vykreslit proud? Zkuste to udělat.
- Co takhle vykreslit napětí na rezistoru?
Ano, můžete také změnit hodnoty pro C a L, ale buďte opatrní. Pokud budou příliš nízké, bude frekvence velmi vysoká a budete muset změnit velikost časového kroku na něco menšího.
Reálné obvody LRC
Když vytvoříte model (buď analyticky, nebo numericky), někdy opravdu nevíte, zda je oprávněný, nebo zcela falešný. Jedním ze způsobů, jak svůj model otestovat, je provést srovnání se skutečnými daty. Pojďme to udělat. Zde je moje nastavení.
Takto to funguje. Nejprve použiji tři D-články k nabití kondenzátoru. Kdy je téměř plně nabitý, poznám podle hodnoty napětí na kondenzátoru. Poté odpojím baterie a zavřu spínač, aby se kondenzátor vybil přes induktor. Odpor je jen součástí vodičů – nemám samostatný odpor.
Zkoušel jsem několik různých kombinací kondenzátorů a induktorů a nakonec jsem dosáhl toho, že něco funguje. Pro tento případ jsem použil kondenzátor 5 μF a starý mizerně vypadající transformátor pro induktor (není zobrazen výše). Nebyl jsem si jistý hodnotou indukčnosti, takže jsem jen odhadl úhlovou frekvenci a použil svou známou hodnotu kapacity k řešení indukčnosti 13,6 Henryse. Pokud jde o odpor, snažil jsem se tuto hodnotu změřit ohmmetrem, ale použití hodnoty 715 ohmů v mém modelu se zdálo být nejvhodnější.
Tady je graf z mého numerického modelu i z napětí naměřeného ve skutečném obvodu (použil jsem Vernierovu diferenciální napěťovou sondu, abych získal napětí v závislosti na čase).
Není to dokonalá shoda – ale pro mě je to dostatečně blízko. Je jasné, že bych si mohl trochu pohrát s parametry, abych dosáhl lepší shody, ale myslím, že to ukazuje, že můj model není šílený.
Proč použít obvod LRC?
Klíčovou vlastností tohoto obvodu LRC je, že má určitou vlastní frekvenci, která závisí na hodnotách L a C. Předpokládejme, že udělám něco trochu jiného. Co když k tomuto obvodu LRC připojím zdroj kmitavého napětí? V tom případě maximální proud v obvodu závisí na frekvenci kmitajícího zdroje napětí. Když má zdroj napětí stejnou frekvenci jako LC obvod, získáte největší proud.
Tady byste mohli tento nápad využít:
Trubička s hliníkovou fólií je kondenzátor a trubička s omotaným drátem je induktor. Společně (s diodou a sluchátkem) tvoří krystalové rádio. Ano, sestavil jsem to s pomocí jednoduchých spotřebních materiálů (postupoval jsem podle návodu na tomto videu na YouTube). Základní myšlenkou je nastavit hodnoty kondenzátoru i induktoru tak, aby se „naladily“ na konkrétní rozhlasovou stanici. Nepodařilo se mi to úplně zprovoznit – myslím, že v okolí prostě nejsou žádné dobré rozhlasové stanice AM (nebo možná můj induktor nestál za nic). Nicméně jsem našel tuto starou soupravu krystalového rádia, která fungovala o něco lépe.
Našel jsem jednu stanici, kterou jsem sotva slyšel, takže si myslím, že je tu možnost, že moje podomácku vyrobené rádio prostě nebylo dost dobré na to, aby zachytilo stanici. Ale jak přesně funguje tento RLC rezonanční obvod a jak z něj dostanete zvukový signál? Možná si to nechám na pozdější příspěvek.
