Axiomer og beviser | Matematikkens verden

Indledning

Forestil dig, at vi placerer flere punkter på omkredsen af en cirkel og forbinder alle punkterne med hinanden. Dette opdeler cirklen i mange forskellige områder, og vi kan tælle antallet af områder i hvert enkelt tilfælde. Diagrammerne nedenfor viser, hvor mange regioner der er for flere forskellige antal punkter på omkredsen. Vi skal sørge for, at kun to linjer mødes ved hvert skæringspunkt inde i cirklen, og ikke tre eller flere.

	1 region	2 regioner	4 regioner	8 regioner	16 regioner

Vi kan straks se et mønster: Det betyder, at der med 6 punkter på omkredsen ville være 32 regioner, og med 7 punkter ville der være 64 regioner.

Vi kan beslutte, at vi er tilfredse med dette resultat. Antallet af regioner er altid det dobbelte af det foregående – det virkede trods alt for de første fem tilfælde. Eller vi kan beslutte, at vi skal tjekke et par stykker mere, bare for at være sikre:

	31 regioner, ikke 32	57 regioner, ikke 64

Der er desværre gået noget galt: 31 ligner måske en regnefejl, men 57 er meget mindre end 64. Sekvensen fortsætter 99, 163, 256, …, meget forskelligt fra det, vi ville få, når vi fordobler det foregående tal.

Dette eksempel illustrerer, hvorfor man i matematik ikke bare kan sige, at en observation altid er sand, bare fordi den virker i nogle få tilfælde, man har testet. I stedet er man nødt til at komme med et stringent logisk argument, der fører fra resultater, man allerede kender, til noget nyt, som man ønsker at vise, at det er sandt. Et sådant argument kaldes et bevis.

Bevægelser er det, der adskiller matematikken fra alle andre videnskaber, for når vi først har bevist noget, er vi helt sikre på, at det er og altid vil være sandt. Det er ikke bare en teori, der passer til vores observationer, og som måske kan blive erstattet af en bedre teori i fremtiden.

I ovenstående eksempel kunne vi tælle antallet af skæringspunkter på indersiden af cirklen. Hvis vi tænker grundigt over forholdet mellem antallet af skæringspunkter, linjer og regioner, vil vi i sidste ende komme frem til en anden ligning for antallet af regioner, når der er x = V.Axi punkter på cirklen:

Antal regioner = x4 – 6 x3 + 23 x2 – 18 x + 2424 = (Math.pow(V.Axi,4) – 6*Math.pow(V.Axi,3) + 23*Math.pow(V.Axi,2) – 18*V.Axi + 24)/24.

Denne ligning virker i alle de ovenstående tilfælde. Vi kan nu forsøge at bevise den for hver værdi af x ved hjælp af “induktion”, en teknik, der forklares nedenfor.

Traditionelt angives slutningen af et bevis ved hjælp af et ■ eller □, eller ved at skrive QED eller “quod erat demonstrandum”, som er latin for “det, der skulle vises”.

Et resultat eller en observation, som vi tror er sandt, kaldes en hypotese eller en formodning. Når vi har bevist det, kalder vi det et teorem. Når vi har bevist en sætning, kan vi bruge den til at bevise andre, mere komplicerede resultater – og dermed opbygge et voksende netværk af matematiske sætninger.

Axiomer

Et interessant spørgsmål er, hvor man skal starte fra. Hvordan beviser man den første sætning, hvis man ikke ved noget endnu? Desværre kan man ikke bevise noget ved hjælp af ingenting. Du har brug for i det mindste et par byggesten at starte med, og disse kaldes aksiomer.

Matematikere antager, at aksiomer er sande uden at kunne bevise dem. Dette er dog ikke så problematisk, som det kan se ud, for aksiomer er enten definitioner eller klart indlysende, og der er kun meget få aksiomer. Et aksiom kunne f.eks. være, at a + b = b + a for to vilkårlige tal a og b.

Axiomer er vigtige at få ret, fordi hele matematikken hviler på dem. Hvis der er for få aksiomer, kan man kun bevise meget lidt, og så ville matematikken ikke være særlig interessant. Hvis der er for mange aksiomer, kan man bevise næsten hvad som helst, og så ville matematikken heller ikke være interessant. Man kan heller ikke have aksiomer, der modsiger hinanden.

Matematik handler ikke om at vælge det rigtige sæt aksiomer, men om at udvikle en ramme ud fra disse udgangspunkter. Hvis man starter med forskellige aksiomer, vil man få en anden slags matematik, men de logiske argumenter vil være de samme. Hvert område af matematikken har sit eget sæt grundlæggende aksiomer.

Når matematikere har bevist et teorem, offentliggør de det, så andre matematikere kan kontrollere det. Nogle gange finder de en fejl i det logiske argument, og nogle gange bliver en fejl først fundet mange år senere. Men i princippet er det altid muligt at bryde et bevis ned til de grundlæggende aksiomer.

Mængdeteori og valgaxiomet

For at formulere beviser er det nogle gange nødvendigt at gå tilbage til selve grundlaget for det sprog, som matematikken er skrevet i: mængdelæren.

En mængde er en samling af objekter, f.eks. tal. Elementerne i en mængde skrives normalt i krøllede parenteser. Vi kan finde foreningen af to mængder (mængden af elementer, der er i begge mængder) eller vi kan finde skæringspunktet mellem to mængder (mængden af elementer, der er i begge mængder).

Mange matematiske problemer kan formuleres i mængdelærens sprog, og for at bevise dem har vi brug for mængdelære aksiomer. I tidens løb har matematikere brugt forskellige samlinger af aksiomer, hvoraf de ni Zermelo-Fraenkel (ZF)-aksiomer er de mest accepterede:

Hvis du tænker over mængdelære, vil de fleste af disse aksiomer virke helt indlysende – og det er det, som aksiomer skal være. Der er dog et tiende aksiom, som er noget mere problematisk:

Op det første øjekast ser aksiomet om valg (AC) lige så uskyldigt ud som de andre ovenfor. Men brugen af uendelighed har en række uventede konsekvenser. For eksempel kan man bruge AC til at bevise, at det er muligt at skære en kugle i fem stykker og samle dem igen for at lave to kugler, der hver især er identiske med den oprindelige kugle. Dette er kun et teoretisk koncept – de nødvendige opskæringer er fraktale, hvilket betyder, at de ikke kan eksistere i virkeligheden, og nogle af stykkerne er “ikke-målbare”, hvilket betyder, at de ikke har et defineret volumen. Men det faktum, at valgaxiomet kan bruges til at konstruere disse umulige snit, er ret bekymrende.

Der er en lidenskabelig debat blandt logikere, om man skal acceptere valgaxiomet eller ej. Hver samling af aksiomer danner en lille “matematisk verden”, og forskellige teoremer kan være sande i forskellige verdener. Det er egentlig bare et spørgsmål om, hvorvidt man er glad for at leve i en verden, hvor man kan lave to kugler ud af en…

Bevis ved induktion

Bevis ved induktion er en teknik, som kan bruges til at bevise, at et bestemt udsagn er sandt for alle naturlige tal 1, 2, 3, … “Udsagnet” er normalt en ligning eller formel, som indeholder en variabel n, som kan være et hvilket som helst naturligt tal. Lad os betegne udsagnet anvendt på n med S(n). Her er de fire trin i matematisk induktion:

• Først beviser vi, at S(1) er sandt, dvs. at udsagnet S er sandt for 1.
• Nu antager vi, at S(k) er sandt, dvs. at udsagnet S er sandt for et eller andet naturligt tal k.
• Ved hjælp af denne antagelse forsøger vi at udlede, at S(k + 1) også er sandt. Når S er sandt for et tal, er det altså også sandt for det næste tal.
• Da vi ved, at S(1) er sandt, må S(2) være sandt. Og derfor må S(3) også være sandt. Og derfor må S(4) være sandt. Og så videre: S må være sandt for alle tal.

Induktion kan sammenlignes med faldende dominobrikker: når en dominobrik falder, falder den næste også. Det første trin, nemlig at bevise, at S(1) er sandt, starter den uendelige kædereaktion.

Det første trin bliver ofte overset, fordi det er så simpelt. Faktisk er det meget vigtigt, og hele induktionskæden afhænger af det – som nogle af de følgende eksempler vil vise…

Nogle sætninger kan ikke helt bevises ved hjælp af induktion – vi er nødt til at bruge en lidt modificeret version kaldet stærk induktion. I stedet for at antage S(k) for at bevise S(k + 1), antager vi alle S(1), S(2), … S(k) for at bevise S(k + 1). Alt, hvad der kan bevises ved hjælp af (svag) induktion, kan tydeligvis også bevises ved hjælp af stærk induktion, men ikke omvendt.