Cirkelbevægelse

Og en partikel bevæger sig langs omkredsen af en cirkel med en ensartet hastighed, således at den foretager en fuldstændig omdrejning hver time. For at beskrive bevægelsen matematisk konstrueres en vektor fra cirklens centrum til partiklen. Vektoren foretager derefter en fuldstændig omdrejning hver time. Med andre ord opfører vektoren sig nøjagtigt som den store viseren på et armbåndsur, en pil af fast længde, der foretager en fuldstændig omdrejning hver time. Bevægelsen af vektorens punkt er et eksempel på en ensartet cirkelbevægelse, og perioden T for bevægelsen er lig med en time (T = 1 h). Pilen udfolder en vinkel på 2π radianer (en hel cirkel) pr. time. Denne hastighed kaldes vinkelfrekvensen og skrives ω = 2π h-1. Helt generelt gælder det for en ensartet cirkelbevægelse med en hvilken som helst hastighed,

Disse definitioner og relationer er de samme som for harmonisk bevægelse, som er behandlet ovenfor.

Og tænk på et koordinatsystem, som vist i figur 8A, med cirklen centreret ved oprindelsen. På et hvilket som helst tidspunkt kan partikelens position angives ved at angive cirklens radius r og vinklen θ mellem positionsvektoren og x-aksen. Selv om r er konstant, stiger θ jævnt med tiden t, således at θ = ωt, eller dθ/dt = ω, hvor ω er vinkelfrekvensen i ligning (26). I modsætning til tilfældet med armbåndsuret er ω dog konventionelt set positiv, når rotationen sker mod uret. Vektoren r har x- og y-komponenter givet ved

En betydning af ligningerne (27) og (28) er, at når en partikel gennemgår en ensartet cirkulær bevægelse, gennemgår dens x- og y-komponenter hver især en simpel harmonisk bevægelse. De er imidlertid ikke i fase med hinanden: i det øjeblik, hvor x har sin maksimale amplitude (f.eks. ved θ = 0), har y en amplitude på nul og omvendt.

I løbet af en kort tid, Δt, bevæger partiklen sig rΔθ langs cirklens omkreds, som vist i figur 8B. Partiklens gennemsnitshastighed er således givet ved

Partiklens gennemsnitshastighed er en vektor givet ved

Denne operation med vektorsubtraktion er angivet i figur 8B. Den giver en vektor, der er næsten vinkelret på r(t) og r(t + Δt). Faktisk er den øjeblikkelige hastighed, der findes ved at lade Δt krympe til nul, en vektor v, der er vinkelret på r i hvert øjeblik, og hvis størrelse er

Sammenhængen mellem r og v er vist i figur 8C. Det betyder, at partiklens øjeblikkelige hastighed altid er tangent til cirklen.

Bemærk, at ligesom positionsvektoren r kan beskrives ved hjælp af komponenterne x og y, der er givet ved ligningerne (27) og (28), kan hastighedsvektoren v beskrives ved hjælp af dens projektioner på x- og y-aksen, givet ved

Imaginer et nyt koordinatsystem, hvor en vektor med længden ωr udgår fra oprindelsen og til enhver tid peger i samme retning som v. Denne konstruktion er vist i figur 8D. Hver gang partiklen fejer en hel cirkel ud, fejer denne vektor også en hel cirkel ud. Faktisk udfører dens punkt en ensartet cirkelbevægelse med samme vinkelfrekvens som partiklen selv. Da vektorer har størrelse og retning, men ikke position i rummet, er den vektor, der er konstrueret, hastigheden v. Partiklens hastighed gennemgår selv en ensartet cirkelbevægelse med vinkelfrekvensen ω.

Og selv om partiklens hastighed er konstant, accelereres partiklen alligevel, fordi dens hastighed hele tiden ændrer retning. Accelerationen a er givet ved

Da v er en vektor af længden rω, der undergår en ensartet cirkelbevægelse, kan ligningerne (29) og (30) gentages, som illustreret i figur 8E, hvilket giver

Sådan, kan man konkludere, at den øjeblikkelige acceleration altid er vinkelret på v, og at dens størrelse er

Da v er vinkelret på r, og a er vinkelret på v, er vektoren a drejet 180° i forhold til r. Med andre ord er accelerationen parallel med r, men i den modsatte retning. Den samme konklusion kan opnås ved at indse, at a har x- og y-komponenter, der er givet ved

ligning (32) og (33). Når ligningerne (38) og (39) sammenlignes med ligningerne (27) og (28) for x og y, er det klart, at komponenterne af a blot er komponenterne af r multipliceret med -ω2, således at a = -ω2r. Denne acceleration kaldes centripetaccelerationen, hvilket betyder, at den er indadgående og peger langs radiusvektoren mod cirklens centrum. Det er undertiden nyttigt at udtrykke den centripetale acceleration i form af hastigheden v. Ved hjælp af v = ωr, kan man skrive