Hvad sker der, når du sætter en induktor og en kondensator i et kredsløb? Noget ret sejt – og faktisk vigtigt.
Hvad er en induktor?
Du kan lave alle mulige forskellige typer induktorer, men den mest almindelige type er en cylindrisk trådspole – en magnetspole.
Når strømmen løber gennem den første sløjfe, skaber den et magnetfelt, der går gennem de andre sløjfer. Magnetiske felter gør ikke rigtig noget, medmindre størrelsen ændres. Et ændret magnetfelt vil skabe et elektrisk felt i de andre sløjfer. Retningen af dette elektriske felt vil lave en ændring i det elektriske potentiale, der virker som et batteri.
I sidste ende har vi en enhed, der har en potentialforskel, der er proportional med tidens ændringshastighed af strømmen (da strømmen skaber magnetfeltet). Dette kan skrives som:
Der er to ting, der skal påpeges i denne ligning. For det første er L induktansen. Den afhænger kun af solenoidens geometri (eller hvilken form du har), og dens værdi måles i Henry’er. For det andet er der det negative tegn. Det betyder, at ændringen i potentialet over induktoren er modsat ændringen i strømmen.
Hvordan opfører en induktor sig i et kredsløb? Hvis du har en konstant strøm, så er der ingen ændring (jævnstrøm) og dermed ingen potentialforskel over induktoren – den opfører sig som om den slet ikke er der. Hvis der er en højfrekvent strøm (vekselstrømskredsløb), så vil der være en stor potentialforskel over induktoren.
Hvad er en kondensator?
Og der er masser af forskellige konfigurationer for en kondensator. Den enkleste form anvender to parallelle ledende plader med elektrisk ladning på hver plade (men en nettoladning på nul).
Den elektriske ladning på disse plader skaber et elektrisk felt inde i kondensatoren. Da der er et elektrisk felt, må der også være en ændring i det elektriske potentiale på tværs af pladerne. Værdien af denne potentialforskel afhænger af mængden af ladning. Potentialdifferencen over kondensatoren kan skrives som:
Her er C værdien af kapacitansen i enheder af farads—-det afhænger også kun af den fysiske konfiguration af enheden.
Hvis der går en strøm ind i kondensatoren, vil værdien af ladningen på pladerne ændre sig. Hvis der er en konstant (eller lavfrekvent) strøm, vil denne strøm fortsætte med at tilføje ladning til pladerne for at øge det elektriske potentiale, således at dette potentiale med tiden til sidst vil fungere som et åbent kredsløb med kondensatorspændingen lig med batterispændingen (eller strømforsyningen). Hvis du har en højfrekvent strøm, vil ladningen både blive tilføjet og fjernet fra pladerne i kondensatoren uden opbygning af ladning, og kondensatoren vil opføre sig, som om den slet ikke er der.
Hvad sker der, når du forbinder en kondensator og en induktor?
Sæt, vi starter med en opladet kondensator og kobler den til en induktor (ingen modstand i kredsløbet, fordi jeg bruger perfekte fysik-ledninger). Tænk på det øjeblik, lige når disse to er forbundet. Lad os antage, at der er en afbryder, så kan jeg tegne følgende diagrammer:
Det her er, hvad der sker. Først er der ingen strøm (da kontakten er åben). Når kontakten er lukket, kan der være en strøm, og uden modstand ville denne strøm springe op til uendelig. Denne store stigning i strømmen betyder imidlertid, at der vil blive produceret en ændring i det elektriske potentiale på tværs af spolen. På et tidspunkt vil ændringen i potentialet over induktoren være større end ændringen over kondensatoren (da kondensatoren mister ladning med strømmen), og så vil strømmen vende om og lade kondensatoren op igen. Processen gentager sig selv—for evigt, da der ikke er nogen modstand.
Modellering af et LC-kredsløb.
Det kaldes et LC-kredsløb, fordi det har en induktor (L) og en kondensator (C)—det er vel indlysende. Ændringen i det elektriske potentiale omkring hele kredsløbet skal være nul (fordi det er en sløjfe), så jeg kan skrive:
Både Q og I ændrer sig med tiden. Der er en sammenhæng mellem Q og I, idet strømmen er den tidsændringshastighed, hvormed ladningen forlader kondensatoren.
Nu har jeg en anden ordens differentialligning for ladningsvariablen. Det er ikke så vanskelig en ligning at løse – faktisk kan jeg bare gætte mig frem til en løsning.
Dette er stort set det samme som løsningen for en masse på en fjeder (bortset fra at det i det tilfælde er positionen, der ændres, ikke ladningen). Men vent! Vi behøver ikke at gætte en løsning, du kan også løse dette problem med en numerisk beregning. Lad mig starte med følgende værdier:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (denne værdi får du ud fra startpotentialet og kapacitansen)
For at løse dette numerisk vil jeg opdele problemet i små tidstrin. I hvert tidstrin vil jeg:
- Brug differentialligningen ovenfor til at beregne den anden tidsafledte af ladningen (jeg kalder dette ddQ).
- Nu da jeg kender ddQ, kan jeg bruge det lille tidstrin til at beregne den afledte af ladningen (dQ).
- Brug værdien af dQ til at finde den nye værdi af Q.
- Forøg tiden og fortsæt, indtil jeg keder mig.
Her er denne beregning i python (klik på play-knappen for at køre den).
Jeg synes, at det er ret sejt. Endnu bedre, du kan måle svingningsperioden for dette kredsløb (brug musen til at svinge og finde værdier for tid) og derefter sammenligne det med den forventede vinkelfrekvens ved hjælp af:
Selvfølgelig kan du ændre nogle ting i det program og se, hvad der sker – værsgo, du ødelægger ikke noget permanent.
Inklusive modstand—LRC-kredsløb
Den ovenstående model var ikke realistisk. Rigtige kredsløb (især de lange ledninger i en induktor) har modstand. Hvis jeg vil medtage denne modstand i min model, ville kredsløbet se således ud:
Dette vil ændre spændingsløbsligningen. Nu vil der også være et udtryk for potentialfaldet over modstanden:
Jeg kan igen bruge sammenhængen mellem ladning og strøm til at få følgende differentialligning:
Med tilføjelsen af modstanden bliver dette en meget vanskeligere ligning, og vi kan ikke bare “gætte” på en løsning. Det burde dog ikke være for svært at ændre vores numeriske beregning ovenfor for at løse dette problem. I virkeligheden er det eneste, der ændres, den linje, hvor den anden afledte af ladningen beregnes. Jeg har tilføjet et udtryk derinde for at tage højde for modstanden (men ikke første orden). Ved at bruge en modstand på 3 ohm får jeg følgende (igen, tryk på play for at køre det):
Her er nogle ting, du kan prøve:
- Ændre værdien af modstanden. Hvis værdien er for høj, dør strømmen ned, før du overhovedet får en svingning.
- Hvad hvis du vil plotte strømmen i stedet for spændingen over kondensatoren? Prøv at se, om du kan gøre det.
- Hvad med et plot af spændingen over modstanden?
Ja, du kan også ændre værdierne for C og L, men vær forsigtig. Hvis de er for lave, vil frekvensen blive meget høj, og du bliver nødt til at ændre størrelsen af tidstrinnet til noget mindre.
Egte LRC-kredsløb
Når man laver en model (enten analytisk eller numerisk), ved man nogle gange ikke rigtig, om den er legitim eller helt falsk. En måde at teste din model på er at foretage en sammenligning med reelle data. Lad os gøre det. Her er min opsætning.
Det er sådan her, det fungerer. Først bruger jeg de tre D-cellebatterier til at oplade kondensatoren. Jeg kan se, hvornår den er næsten fuldt opladet, ved at se på værdien af spændingen over kondensatoren. Dernæst frakobler jeg batterierne og lukker så kontakten, så kondensatoren aflades gennem induktoren. Modstanden er bare en del af ledningerne – jeg har ikke en separat modstand.
Jeg prøvede flere forskellige kombinationer af kondensatorer og induktorer og fik endelig noget til at virke. I dette tilfælde brugte jeg en kondensator på 5 μF og en gammel lortetransformator til min induktor (ikke vist ovenfor). Jeg var ikke sikker på værdien af induktansen, så jeg vurderede bare vinkelfrekvensen og brugte min kendte værdi af kapacitansen til at løse for en induktans på 13,6 Henrys. For modstanden forsøgte jeg at måle denne værdi med en ohm-måler, men det virkede bedst at bruge en værdi på 715 ohm i min model.
Her er et plot fra både min numeriske model og spændingen som målt i det faktiske kredsløb (jeg brugte en Vernier differentialspændingssonde for at få spænding som funktion af tiden).
Det er ikke en perfekt pasform—men det er tæt nok for mig. Det er klart, at jeg kunne lege lidt med parametrene for at få en bedre pasform, men jeg synes, at det viser, at min model ikke er vanvittig.
Hvorfor bruge et LRC-kredsløb?
Den vigtigste egenskab ved dette LRC-kredsløb er, at det har en vis egenfrekvens, der afhænger af værdierne af L og C. Lad os antage, at jeg gør noget lidt anderledes. Hvad hvis jeg tilslutter en svingende spændingskilde til dette LRC-kredsløb? I så fald afhænger den maksimale strøm i kredsløbet af frekvensen af den oscillerende spændingskilde. Når spændingskilden har samme frekvens som LC-kredsløbet, får man den største strøm.
Her kan man bruge denne idé:
Røret med aluminiumsfolien er en kondensator, og røret med den omviklede ledning er en induktor. Sammen (med en diode og en øretelefon) udgør de en krystalradio. Ja, jeg har sat den sammen med nogle enkle forsyninger (jeg fulgte instruktionerne på denne YouTube-video). Den grundlæggende idé er at justere værdierne af både kondensator og induktor for at “indstille” sig på en bestemt radiostation. Jeg kunne ikke helt få det til at virke – jeg tror bare ikke, at der er nogen gode AM-radiostationer i nærheden (eller måske var min induktor elendig). Jeg fandt dog dette gamle krystalradio-sæt, som virkede lidt bedre.
Jeg fandt én station, som jeg knap nok kunne høre, så jeg tror, at der er en chance for, at min hjemmelavede radio bare ikke var helt god nok til at opfange en station. Men hvordan fungerer det her RLC-resonanskredsløb egentlig, og hvordan får man et lydsignal ud af det? Måske vil jeg gemme det til et senere indlæg.
