skole energi&miljø

Naturens tal: Fibonacci-sekvensen

Fibonacci-sekvensen har altid tiltrukket sig folks opmærksomhed, da andre tal, der er så allestedsnærværende som Fibonacci-tallene, ud over at have særlige matematiske egenskaber, ikke findes andre steder i matematikken: de forekommer i geometri, algebra, talteori, i mange andre områder af matematikken og endda i naturen! Lad os sammen finde ud af, hvad det er …

Fibonacci’s liv
Leonardo Pisano, kaldet Fibonacci (Fibonacci står for filius Bonacii), blev født i Pisa omkring 1170. Hans far, Guglielmo dei Bonacci, en velhavende pisansk købmand og repræsentant for Pisarepublikkens købmænd i området Bugia i Cabilia (i det moderne nordøstlige Algeriet), tog efter 1192 sin søn med sig, fordi han ønskede, at Leonardo skulle blive købmand.

Han fik således Leonardo til at studere under vejledning af en muslimsk lærer, som vejledte ham i at lære beregningsteknikker, især dem vedrørende indo-arabiske tal, som endnu ikke var blevet indført i Europa. Fibonaccis uddannelse begyndte i Bejaia og fortsatte også i Egypten, Syrien og Grækenland, steder han besøgte med sin far langs handelsruterne, inden han fra omkring 1200 vendte permanent tilbage til Pisa. I de næste 25 år helligede Fibonacci sig selv til at skrive matematiske manuskripter: af disse er Liber Abaci (1202), takket være hvilket Europa fik kendskab til indo-arabiske tal, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) og Liber Quadratorum (1225) i dag kendt.
Leonardos ry som matematiker blev så stort, at kejser Federico II bad om en audiens, mens han var i Pisa i 1225. Efter 1228 vides der ikke meget om Leonardos liv, bortset fra at han fik titlen “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” som anerkendelse af de store fremskridt, han gjorde inden for matematikken. Fibonacci døde engang efter 1240, formentlig i Pisa.

Fibonaccis kaniner og den berømte rækkefølge
Liber Abaci indeholdt ud over at henvise til indo-arabiske tal, som senere erstattede de romerske tal, også en stor samling problemer henvendt til købmænd, der vedrørte produktpriser, beregning af forretningsfortjeneste, valutaomregning til de forskellige mønter, der var i brug i Middelhavslandene, samt andre problemer af kinesisk oprindelse. Ved siden af disse handelsproblemer var der andre, langt mere berømte problemer, som også havde stor indflydelse på senere forfattere. Blandt dem er det mest berømte, kilde til inspiration for mange matematikere i senere århundreder, det følgende: “Hvor mange par kaniner vil blive født i løbet af et år, startende fra et enkelt par, hvis hvert par hver måned føder et nyt par, som bliver reproduktivt fra den anden måned?”. Løsningen på dette problem er den berømte “Fibonacci-sekvens”: 0, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 13, 21,34,55,89… en talrække, hvor hvert medlem er summen af de to foregående.

En vigtig egenskab ved sekvensen er, at forholdet mellem ethvert tal og det foregående i serien tenderer mod en veldefineret værdi: 1,618… Dette er det gyldne snit eller det gyldne snit, φ (Phi), som ofte forekommer i naturen (for at vide mere om det: Sneglens perfektion).
Da Fibonacci illustrerede denne sekvens som en løsning på et “fritidsmatematisk” problem, tillagde han den ikke særlig stor betydning. Først i 1877 offentliggjorde matematikeren Édouard Lucas en række vigtige undersøgelser om denne rækkefølge, som han hævdede at have fundet i Liber Abaci, og som han til ære for forfatteren kaldte “Fibonacci-rækken”. Undersøgelserne blev efterfølgende mangedoblet, og der blev opdaget talrige og uventede egenskaber ved denne sekvens, så meget, at der siden 1963 er blevet udgivet et tidsskrift udelukkende dedikeret til den, “The Fibonacci quarterly”.

Fibonacci-sekvensen i naturen
Opmærksom man betragter geometrien hos planter, blomster eller frugter, er det let at genkende tilstedeværelsen af tilbagevendende strukturer og former. Fibonacci-sekvensen spiller f.eks. en afgørende rolle i phyllotaxis, som studerer arrangementet af blade, grene, blomster eller frø i planter, med det primære formål at fremhæve eksistensen af regelmæssige mønstre. De forskellige arrangementer af naturelementer følger overraskende matematiske regelmæssigheder: D’arcy Thompson bemærkede, at planteriget har en mærkelig præference for bestemte tal og for visse spiralformede geometrier, og at disse tal og geometrier er nært beslægtede.
Vi kan let finde tallene i Fibonacci-sekvensen i de spiraler, der dannes af de enkelte blomster i de sammensatte blomsterstande hos margueritter, solsikker, blomkål og broccoli.

Det var Kepler, der bemærkede, at bladene på mange typer træer er arrangeret efter et mønster, der omfatter to Fibonacci-tal. Hvis man starter fra et hvilket som helst blad, er der efter en, to, tre eller fem omdrejninger af spiralen altid et blad, der flugter med det første, og afhængigt af arten vil det være det andet, tredje, femte, ottende eller trettende blad.

Et andet simpelt eksempel, hvor det er muligt at finde Fibonacci-sekvensen i naturen, er antallet af kronblade på blomster. De fleste har tre (som liljer og iris), fem (parnassia, hyben) eller otte (cosmea), 13 (nogle tusindfryd), 21 (cikorie), 34, 55 eller 89 (asteraceae). Disse tal er en del af den berømte Fibonacci-sekvens, der er beskrevet i det foregående afsnit.

Af Benedetta Palazzo