Matrixdarstellung
Wir können die Bézier-Formel tatsächlich mit Hilfe der Matrixmultiplikation darstellen, was in anderen Zusammenhängen nützlich sein kann, zum Beispiel bei der Aufteilung der Bézier-Kurve. Wenn wir zu unserem Beispiel zurückkehren, können wir P(t) wie folgt umschreiben:
Auf diese Weise sind alle Informationen über die quadratische Bézier-Kurve in einer einzigen Matrix, M, verdichtet. Da die Koeffizienten der Matrix einfach die Koeffizienten des Polynoms vor jedem Pi sind, ist das, was wir suchen, die expandierte Form des Bernstein-Polynoms eq. 2.
Eine weitere Sache: Wenn wir Bi(t) expandieren, erhalten wir das Polynom vor Pi, das der i(ten) Spalte in der Matrix entspricht. Das ist aber nicht wirklich praktisch und es wäre einfacher zu programmieren, wenn wir stattdessen Zeilen erhalten könnten. Abgesehen davon könnte man feststellen, dass die i(-te) Zeile der Matrix genau dasselbe ist wie die umgekehrte (n-i)(-te) Spalte, und die Koeffizienten der umgekehrten (n-i)(-ten) Spalte sind nichts anderes als die Koeffizienten von B(n-i)(t) in abnehmenden Potenzen von t.
Sie können eq. 2 und eq. 3 nachschlagen, wenn Sie Schwierigkeiten haben.
Die Koeffizienten der Matrix sind also nichts anderes als die Koeffizienten vor t, das heißt:
Interpolation
Eine interessante Anwendung von Bézier-Kurven ist es, eine glatte Kurve zu zeichnen, die durch eine vordefinierte Menge von Punkten verläuft. Das ist deshalb interessant, weil die Formel P(t) Punkte erzeugt und nicht die Form y=f(x) hat, so dass ein x mehrere y haben kann (im Grunde eine Funktion, die „rückwärts“ gehen kann). Wir könnten zum Beispiel so etwas zeichnen:
Die Mathematik, um dieses Ergebnis zu erzielen, ist jedoch nicht trivial, weshalb ich dafür einen eigenen Beitrag geschrieben habe:
