Kreisbewegung

Betrachten Sie ein Teilchen, das sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit auf dem Umfang eines Kreises bewegt, so dass es jede Stunde eine vollständige Umdrehung macht. Um die Bewegung mathematisch zu beschreiben, wird ein Vektor vom Mittelpunkt des Kreises zum Teilchen konstruiert. Der Vektor macht dann jede Stunde eine vollständige Umdrehung. Mit anderen Worten: Der Vektor verhält sich genau wie der große Zeiger einer Armbanduhr, ein Pfeil von fester Länge, der jede Stunde eine vollständige Umdrehung macht. Die Bewegung der Spitze des Vektors ist ein Beispiel für eine gleichförmige Kreisbewegung, und die Periode T der Bewegung ist gleich einer Stunde (T = 1 h). Der Pfeil überstreicht pro Stunde einen Winkel von 2π Radiant (ein vollständiger Kreis). Diese Rate wird als Winkelfrequenz bezeichnet und mit ω = 2π h-1 geschrieben. Ganz allgemein gelten für eine gleichförmige Kreisbewegung

Diese Definitionen und Beziehungen sind die gleichen wie für die oben beschriebene harmonische Bewegung.

Betrachten wir ein Koordinatensystem, wie in Abbildung 8A dargestellt, bei dem der Kreis im Mittelpunkt des Ursprungs liegt. Zu jedem Zeitpunkt kann die Position des Teilchens durch Angabe des Radius r des Kreises und des Winkels θ zwischen dem Positionsvektor und der x-Achse bestimmt werden. Obwohl r konstant ist, nimmt θ gleichmäßig mit der Zeit t zu, so dass θ = ωt oder dθ/dt = ω ist, wobei ω die Winkelfrequenz in Gleichung (26) ist. Im Gegensatz zum Fall der Armbanduhr ist ω jedoch vereinbarungsgemäß positiv, wenn die Drehung im Gegenuhrzeigersinn erfolgt. Der Vektor r hat x- und y-Komponenten, die durch

Eine Bedeutung der Gleichungen (27) und (28) ist, dass, wenn ein Teilchen eine gleichförmige Kreisbewegung durchläuft, seine x- und y-Komponenten jeweils eine einfache harmonische Bewegung ausführen. Sie sind jedoch nicht phasengleich zueinander: In dem Augenblick, in dem x seine maximale Amplitude hat (etwa bei θ = 0), hat y die Amplitude Null und umgekehrt.

In einer kurzen Zeit, Δt, bewegt sich das Teilchen rΔθ entlang des Kreisumfangs, wie in Abbildung 8B gezeigt. Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Teilchens ist somit gegeben durch

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Teilchens ist ein Vektor, der gegeben ist durch

Dieser Vorgang der Vektorsubtraktion ist in Abbildung 8B dargestellt. Sie führt zu einem Vektor, der nahezu senkrecht zu r(t) und r(t + Δt) steht. Die Momentangeschwindigkeit, die sich ergibt, wenn man Δt auf Null schrumpfen lässt, ist ein Vektor v, der zu jedem Zeitpunkt senkrecht zu r steht und dessen Betrag

ist. Die Beziehung zwischen r und v ist in Abbildung 8C dargestellt. Das bedeutet, dass die Momentangeschwindigkeit des Teilchens immer tangential zum Kreis ist.

Wie der Ortsvektor r durch die Komponenten x und y in den Gleichungen (27) und (28) beschrieben werden kann, so kann der Geschwindigkeitsvektor v durch seine Projektionen auf die x- und y-Achse beschrieben werden, gegeben durch

Stellen Sie sich ein neues Koordinatensystem vor, in dem ein Vektor der Länge ωr vom Ursprung ausgeht und stets in dieselbe Richtung wie v zeigt. Diese Konstruktion ist in Abbildung 8D dargestellt. Jedes Mal, wenn das Teilchen einen vollständigen Kreis durchstreicht, durchstreicht auch dieser Vektor einen vollständigen Kreis. Tatsächlich führt sein Punkt eine gleichmäßige Kreisbewegung mit der gleichen Winkelfrequenz wie das Teilchen selbst aus. Da Vektoren Betrag und Richtung, aber keine Position im Raum haben, ist der konstruierte Vektor die Geschwindigkeit v. Die Geschwindigkeit des Teilchens führt selbst eine gleichförmige Kreisbewegung mit der Winkelfrequenz ω aus.

Obwohl die Geschwindigkeit des Teilchens konstant ist, wird das Teilchen dennoch beschleunigt, weil seine Geschwindigkeit ständig die Richtung ändert. Die Beschleunigung a ist gegeben durch

Da v ein Vektor der Länge rω ist, der sich gleichmäßig auf einer Kreisbahn bewegt, können die Gleichungen (29) und (30) wiederholt werden, wie in Abbildung 8E dargestellt, ergibt

Daher, kann man schlussfolgern, dass die momentane Beschleunigung immer senkrecht zu v steht und ihr Betrag

Da v senkrecht zu r und a senkrecht zu v steht, ist der Vektor a um 180° in Bezug auf r gedreht. Mit anderen Worten: Die Beschleunigung ist parallel zu r, aber in die entgegengesetzte Richtung. Dieselbe Schlussfolgerung lässt sich ziehen, wenn man sich vergegenwärtigt, dass a eine x- und eine y-Komponente hat, die durch

ähnlich den Gleichungen (32) und (33) gegeben sind. Wenn man die Gleichungen (38) und (39) mit den Gleichungen (27) und (28) für x und y vergleicht, wird klar, dass die Komponenten von a nur die von r multipliziert mit -ω2 sind, so dass a = -ω2r. Diese Beschleunigung wird Zentripetalbeschleunigung genannt, was bedeutet, dass sie nach innen gerichtet ist und entlang des Radiusvektors in Richtung des Kreismittelpunkts zeigt. Manchmal ist es sinnvoll, die Zentripetalbeschleunigung in Form der Geschwindigkeit v auszudrücken. Mit v = ωr, kann man schreiben