Was passiert, wenn du eine Induktivität und einen Kondensator in einen Stromkreis einbaust? Etwas ziemlich Cooles – und tatsächlich Wichtiges.
Was ist eine Induktivität?
Man kann alle möglichen Arten von Induktoren herstellen, aber der häufigste Typ ist eine zylindrische Drahtspule – eine Magnetspule.
Wenn Strom durch die erste Schleife fließt, erzeugt er ein Magnetfeld, das durch die anderen Schleifen fließt. Magnetische Felder bewirken eigentlich nichts, es sei denn, die Stärke ändert sich. Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld in den anderen Schleifen. Die Richtung dieses elektrischen Feldes führt zu einer Änderung des elektrischen Potentials, das wie eine Batterie wirkt.
Am Ende haben wir ein Gerät, das eine Potentialdifferenz aufweist, die proportional zur zeitlichen Änderung des Stroms ist (da der Strom das Magnetfeld erzeugt). Dies kann wie folgt geschrieben werden:
Es gibt zwei Dinge, die in dieser Gleichung zu beachten sind. Erstens: L ist die Induktivität. Sie hängt nur von der Geometrie der Magnetspule ab (oder von der Form, die Sie haben) und ihr Wert wird in Henrys gemessen. Zweitens gibt es das negative Vorzeichen. Das bedeutet, dass die Änderung des Potenzials an der Spule der Änderung des Stroms entgegenwirkt.
Wie verhält sich eine Spule in einem Stromkreis? Bei konstantem Strom gibt es keine Änderung (Gleichstrom) und damit auch keine Potenzialdifferenz an der Spule – sie verhält sich, als wäre sie gar nicht vorhanden. Bei einem hochfrequenten Strom (Wechselstromkreis) gibt es eine große Potenzialdifferenz über der Spule.
Was ist ein Kondensator?
Auch hier gibt es viele verschiedene Konfigurationen für einen Kondensator. Die einfachste Form verwendet zwei parallele leitende Platten mit elektrischer Ladung auf jeder Platte (aber einer Nettoladung von Null).
Die elektrische Ladung auf diesen Platten erzeugt ein elektrisches Feld im Inneren des Kondensators. Da es ein elektrisches Feld gibt, muss es auch eine Änderung des elektrischen Potenzials zwischen den Platten geben. Der Wert dieser Potentialdifferenz hängt von der Ladungsmenge ab. Die Potentialdifferenz über dem Kondensator kann wie folgt geschrieben werden:
Hier ist C der Wert der Kapazität in Einheiten von Farad – er hängt auch nur von der physikalischen Konfiguration des Geräts ab.
Wenn ein Strom in den Kondensator fließt, ändert sich der Wert der Ladung auf den Platten. Bei konstantem (oder niederfrequentem) Strom führt dieser Strom den Platten weiterhin Ladung zu, um das elektrische Potenzial zu erhöhen, so dass sich dieses Potenzial mit der Zeit wie ein offener Stromkreis verhält, wobei die Kondensatorspannung gleich der Batteriespannung (oder der Stromversorgung) ist. Bei einem hochfrequenten Strom wird den Platten im Kondensator Ladung zugeführt und entzogen, ohne dass sich Ladung aufbaut, und der Kondensator verhält sich so, als wäre er gar nicht vorhanden.
Was passiert, wenn man einen Kondensator und eine Spule verbindet?
Angenommen, wir beginnen mit einem geladenen Kondensator und schließen ihn an eine Spule an (kein Widerstand in der Schaltung, da ich perfekte physikalische Drähte verwende). Denken Sie an den Moment, wenn diese beiden verbunden sind. Angenommen, es gibt einen Schalter, dann kann ich die folgenden Diagramme zeichnen.
Hier ist, was passiert. Zunächst gibt es keinen Strom (da der Schalter offen ist). Sobald der Schalter geschlossen ist, kann ein Strom fließen, und da es keinen Widerstand gibt, würde dieser Strom ins Unendliche steigen. Dieser starke Anstieg des Stroms bedeutet jedoch, dass sich das elektrische Potenzial an der Spule ändert. Irgendwann wird die Potenzialänderung an der Spule größer sein als die am Kondensator (da der Kondensator beim Stromfluss Ladung verliert), und dann kehrt der Strom seine Richtung um und lädt den Kondensator wieder auf. Der Prozess wiederholt sich – für immer, da es keinen Widerstand gibt.
Modellierung eines LC-Schaltkreises.
Man nennt ihn LC-Schaltkreis, weil er eine Induktivität (L) und einen Kondensator (C) hat – ich denke, das ist offensichtlich. Die Änderung des elektrischen Potentials in der gesamten Schaltung muss Null sein (weil es eine Schleife ist), so dass ich schreiben kann:
Beide, Q und I, ändern sich mit der Zeit. Es besteht ein Zusammenhang zwischen Q und I, da der Strom die zeitliche Änderungsrate ist, mit der die Ladung den Kondensator verlässt.
Nun habe ich eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Ladungsvariable. Diese Gleichung ist gar nicht so schwer zu lösen – tatsächlich kann ich die Lösung einfach erraten.
Das ist so ziemlich das Gleiche wie die Lösung für eine Masse an einer Feder (außer dass sich in diesem Fall die Position ändert und nicht die Ladung). Aber halt! Wir müssen die Lösung nicht erraten, man kann dieses Problem auch mit einer numerischen Berechnung lösen. Ich beginne mit folgenden Werten:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (diesen Wert erhält man aus dem Startpotential und der Kapazität)
Um das Problem numerisch zu lösen, werde ich es in kleine Zeitschritte aufteilen. Während jedes Zeitschritts werde ich:
- Die obige Differentialgleichung verwenden, um die zweite zeitliche Ableitung der Ladung zu berechnen (ich nenne dies ddQ).
- Nun, da ich ddQ kenne, kann ich den kleinen Zeitschritt verwenden, um die Ableitung der Ladung (dQ) zu berechnen.
- Nutzen Sie den Wert von dQ, um den neuen Wert von Q zu finden.
- Erhöhen Sie die Zeit und machen Sie weiter, bis mir langweilig wird.
Hier ist diese Berechnung in Python (klicken Sie auf den Play-Button, um sie auszuführen).
Ich finde das ziemlich cool. Noch besser ist es, wenn du die Schwingungsdauer dieser Schaltung misst (fahre mit der Maus über die Werte für die Zeit) und sie dann mit der erwarteten Winkelfrequenz vergleichst:
Natürlich kannst du einige Dinge in diesem Programm ändern und sehen, was passiert – mach nur, du wirst nichts dauerhaft kaputt machen.
Einschließlich Widerstand—LRC-Schaltung
Das obige Modell war nicht realistisch. Echte Schaltungen (besonders die langen Drähte in einer Induktivität) haben einen Widerstand. Wenn ich diesen Widerstand in mein Modell einbeziehen will, würde die Schaltung folgendermaßen aussehen:
Dadurch ändert sich die Gleichung der Spannungsschleife. Jetzt gibt es auch einen Term für den Potentialabfall über dem Widerstand.
Ich kann wieder die Verbindung zwischen Ladung und Strom verwenden, um die folgende Differentialgleichung zu erhalten:
Mit der Hinzufügung des Widerstandes wird diese Gleichung viel schwieriger und wir können nicht einfach eine Lösung „erraten“. Es sollte jedoch nicht allzu schwierig sein, unsere obige numerische Berechnung zu ändern, um dieses Problem zu lösen. Das Einzige, was sich wirklich ändert, ist die Zeile, in der die zweite Ableitung der Ladung berechnet wird. Ich habe dort einen Term eingefügt, um den Widerstand zu berücksichtigen (aber nicht die erste Ordnung). Wenn ich einen Widerstand von 3 Ohm verwende, erhalte ich folgendes Ergebnis (drücken Sie erneut die Wiedergabetaste):
Hier sind einige Dinge, die Sie versuchen können:
- Ändern Sie den Wert des Widerstands. Wenn der Wert zu hoch ist, stirbt der Strom ab, bevor du überhaupt eine Schwingung bekommst.
- Was ist, wenn du den Strom anstelle der Spannung über dem Kondensator aufzeichnen willst? Versuche, ob du das kannst.
- Wie wäre es mit einer Darstellung der Spannung am Widerstand?
Ja, du kannst auch die Werte für C und L ändern, aber sei vorsichtig. Wenn sie zu niedrig sind, wird die Frequenz sehr hoch sein, und Sie müssen die Größe des Zeitschritts auf etwas Kleineres ändern.
Reale LRC-Schaltungen
Wenn Sie ein Modell erstellen (entweder analytisch oder numerisch), wissen Sie manchmal nicht wirklich, ob es legitim oder völlig falsch ist. Eine Möglichkeit, das Modell zu testen, ist ein Vergleich mit realen Daten. Lassen Sie uns das tun. Hier ist mein Aufbau.
So funktioniert es. Zuerst benutze ich die drei D-Zellen-Batterien, um den Kondensator aufzuladen. Ich kann feststellen, wann er fast voll geladen ist, indem ich mir den Wert der Spannung am Kondensator ansehe. Als Nächstes trenne ich die Batterien ab und schließe den Schalter, damit sich der Kondensator über die Spule entlädt. Der Widerstand ist nur ein Teil der Drähte – ich habe keinen separaten Widerstand.
Ich habe mehrere verschiedene Kombinationen von Kondensatoren und Induktoren ausprobiert und schließlich etwas gefunden, das funktioniert. In diesem Fall habe ich einen 5 μF-Kondensator und einen alten, schäbig aussehenden Transformator für meine Spule verwendet (nicht oben abgebildet). Ich war mir über den Wert der Induktivität nicht sicher, also schätzte ich einfach die Winkelfrequenz und verwendete meinen bekannten Kapazitätswert, um eine Induktivität von 13,6 Henrys zu ermitteln. Für den Widerstand habe ich versucht, diesen Wert mit einem Ohm-Meter zu messen, aber die Verwendung eines Wertes von 715 Ohm in meinem Modell schien am besten zu funktionieren.
Hier ist ein Diagramm sowohl meines numerischen Modells als auch der Spannung, wie sie in der tatsächlichen Schaltung gemessen wurde (ich habe eine Vernier-Differenzialspannungssonde verwendet, um die Spannung als Funktion der Zeit zu erhalten).
Es ist keine perfekte Anpassung, aber für mich ist es nahe genug. Natürlich könnte ich mit den Parametern ein wenig herumspielen, um eine bessere Anpassung zu erreichen, aber ich denke, das zeigt, dass mein Modell nicht verrückt ist.
Warum eine LRC-Schaltung?
Das Hauptmerkmal dieser LRC-Schaltung ist, dass sie eine Eigenfrequenz hat, die von den Werten von L und C abhängt. Was ist, wenn ich eine oszillierende Spannungsquelle an diese LRC-Schaltung anschließe? In diesem Fall hängt der maximale Strom in der Schaltung von der Frequenz der schwingenden Spannungsquelle ab. Wenn die Spannungsquelle die gleiche Frequenz wie die LC-Schaltung hat, erhält man den größten Strom.
Hier könnte man diese Idee anwenden:
Die Röhre mit der Alufolie ist ein Kondensator und die Röhre mit dem gewickelten Draht ist eine Induktivität. Zusammen (mit einer Diode und einem Ohrhörer) ergeben sie ein Kristallradio. Ja, ich habe das mit ein paar einfachen Mitteln zusammengebaut (ich habe die Anweisungen in diesem YouTube-Video befolgt). Die Grundidee besteht darin, die Werte des Kondensators und der Spule zu verändern, um einen bestimmten Radiosender einzustellen. Ich konnte es nicht ganz zum Laufen bringen – ich glaube, es gibt einfach keine guten AM-Radiosender in der Nähe (oder vielleicht war meine Spule schlecht). Allerdings habe ich dieses alte Quarzradio gefunden, das etwas besser funktionierte.
Ich habe einen Sender gefunden, den ich kaum hören konnte, also denke ich, dass es eine Chance gibt, dass mein selbstgebautes Radio einfach nicht gut genug war, um einen Sender zu empfangen. Aber wie genau funktioniert dieser RLC-Resonanzkreis und wie bekommt man ein Audiosignal von ihm? Vielleicht hebe ich mir das für einen späteren Beitrag auf.
