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Die Zahlen der Natur: die Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge hat schon immer die Aufmerksamkeit der Menschen auf sich gezogen, da sie nicht nur besondere mathematische Eigenschaften hat, sondern auch andere Zahlen, die so allgegenwärtig sind wie die von Fibonacci, nirgendwo sonst in der Mathematik vorkommen: Sie tauchen in der Geometrie, der Algebra, der Zahlentheorie, in vielen anderen Bereichen der Mathematik und sogar in der Natur auf! Finden wir gemeinsam heraus, worum es sich handelt …

Das Leben von Fibonacci
Leonardo Pisano, genannt Fibonacci (Fibonacci steht für filius Bonacii), wurde um 1170 in Pisa geboren. Sein Vater, Guglielmo dei Bonacci, ein reicher pisanischer Kaufmann und Vertreter der Kaufleute der Republik Pisa in der Gegend von Bugia in Cabilia (im heutigen Nordostalgerien), nahm seinen Sohn nach 1192 mit, weil er wollte, dass Leonardo Kaufmann wird.

Auf diese Weise brachte er Leonardo dazu, unter der Anleitung eines muslimischen Lehrers zu studieren, der ihm das Rechnen beibrachte, insbesondere mit den indoarabischen Zahlen, die in Europa noch nicht eingeführt waren. Fibonaccis Ausbildung begann in Bejaia und setzte sich auch in Ägypten, Syrien und Griechenland fort, Orte, die er mit seinem Vater entlang der Handelsrouten besuchte, bevor er ab etwa 1200 dauerhaft nach Pisa zurückkehrte. In den nächsten 25 Jahren widmete sich Fibonacci dem Verfassen mathematischer Manuskripte, von denen uns heute Liber Abaci (1202), dank dessen Europa die indoarabischen Zahlen kennenlernte, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) und Liber Quadratorum (1225) bekannt sind.
Leonardos Ruf als Mathematiker wurde so groß, dass Kaiser Friedrich II. 1225 in Pisa um eine Audienz bat. Nach 1228 ist nicht viel über Leonardos Leben bekannt, außer dass er in Anerkennung seiner großen Fortschritte in der Mathematik den Titel „Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo“ erhielt. Fibonacci starb irgendwann nach 1240, vermutlich in Pisa.

Die Kaninchen von Fibonacci und die berühmte Folge
Liber Abaci, die sich nicht nur auf die indo-arabischen Zahlen beziehen, die später die römischen Ziffern ablösten, sondern auch eine große Sammlung von Problemen enthalten, die sich an Kaufleute richteten und die Preise von Produkten, die Berechnung des Geschäftsgewinns, die Umrechnung von Währungen in die verschiedenen Münzen, die in den Mittelmeerstaaten verwendet wurden, sowie andere Probleme chinesischen Ursprungs betrafen. Neben diesen Handelsproblemen gab es andere, viel berühmtere, die ebenfalls einen großen Einfluss auf spätere Autoren hatten. Das berühmteste unter ihnen, das viele Mathematiker späterer Jahrhunderte inspiriert hat, ist das folgende: „Wie viele Kaninchenpaare werden in einem Jahr geboren, ausgehend von einem einzigen Paar, wenn jedes Paar jeden Monat ein neues Paar zur Welt bringt, das sich ab dem zweiten Monat fortpflanzt?“. Die Lösung dieses Problems ist die berühmte „Fibonacci-Folge“: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied die Summe der beiden vorherigen ist.

Ein wichtiges Merkmal der Folge ist die Tatsache, dass das Verhältnis zwischen einer beliebigen Zahl und der vorhergehenden in der Reihe zu einem genau definierten Wert tendiert: 1,618… Dies ist der goldene Schnitt oder das goldene Verhältnis, φ (Phi), das in der Natur häufig vorkommt (mehr dazu: Die Vollkommenheit der Schnecke).
Als Fibonacci diese Folge als Lösung eines Problems der „Freizeitmathematik“ illustrierte, maß er ihr keine besondere Bedeutung bei. Erst 1877 veröffentlichte der Mathematiker Édouard Lucas eine Reihe wichtiger Studien über diese Folge, die er im Liber Abaci gefunden zu haben behauptete und die er zu Ehren des Autors „Fibonacci-Folge“ nannte. In der Folgezeit vervielfachten sich die Studien, und es wurden zahlreiche und unerwartete Eigenschaften dieser Folge entdeckt, so dass seit 1963 eine ausschließlich ihr gewidmete Zeitschrift, „The Fibonacci quarterly“, erscheint.

Die Fibonacci-Folge in der Natur
Betrachtet man die Geometrie von Pflanzen, Blumen oder Früchten, so erkennt man leicht das Vorhandensein von wiederkehrenden Strukturen und Formen. Die Fibonacci-Folge spielt zum Beispiel eine wichtige Rolle in der Phyllotaxis, die die Anordnung von Blättern, Zweigen, Blüten oder Samen bei Pflanzen untersucht, um das Vorhandensein regelmäßiger Muster zu erkennen. Die verschiedenen Anordnungen der natürlichen Elemente folgen überraschenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten: D’arcy Thompson beobachtete, dass das Pflanzenreich eine merkwürdige Vorliebe für bestimmte Zahlen und für bestimmte Spiralgeometrien hat und dass diese Zahlen und Geometrien eng miteinander verbunden sind.
Die Zahlen der Fibonacci-Folge können wir leicht in den Spiralen finden, die von einzelnen Blüten in den zusammengesetzten Blütenständen von Gänseblümchen, Sonnenblumen, Blumenkohl und Brokkoli gebildet werden.

Es war Kepler, der feststellte, dass bei vielen Baumarten die Blätter nach einem Muster angeordnet sind, das zwei Fibonacci-Zahlen enthält. Ausgehend von einem beliebigen Blatt gibt es nach einer, zwei, drei oder fünf Windungen der Spirale immer ein Blatt, das mit dem ersten ausgerichtet ist, und je nach Art ist dies das zweite, dritte, fünfte, achte oder dreizehnte Blatt.

Ein weiteres einfaches Beispiel, bei dem man die Fibonacci-Folge in der Natur finden kann, ist die Anzahl der Blütenblätter von Blumen. Die meisten haben drei (wie Lilien und Schwertlilien), fünf (Parnassia, Hagebutten) oder acht (Cosmea), 13 (einige Gänseblümchen), 21 (Chicorée), 34, 55 oder 89 (Asteraceae). Diese Zahlen sind Teil der berühmten Fibonacci-Folge, die im vorigen Absatz beschrieben wurde.

von Benedetta Palazzo