¿Qué ocurre cuando pone un inductor y un condensador en un circuito? Algo muy interesante… y realmente importante.
¿Qué es un inductor?
Puedes hacer todo tipo de inductores, pero el más común es una bobina cilíndrica de alambre… un solenoide.
Cuando la corriente pasa por la primera espira, crea un campo magnético que pasa por las otras espiras. Los campos magnéticos no hacen realmente nada a menos que la magnitud cambie. Un campo magnético cambiante creará un campo eléctrico en las otras espiras. La dirección de este campo eléctrico hará un cambio en el potencial eléctrico que actúa como una batería.
Al final, tenemos un dispositivo que tiene una diferencia de potencial que es proporcional a la tasa de cambio temporal de la corriente (ya que la corriente hace el campo magnético). Esto se puede escribir como:
Hay dos cosas que señalar en esta ecuación. Primero, la L es la inductancia. Sólo depende de la geometría del solenoide (o de la forma que tenga) y su valor se mide en Henry’s. En segundo lugar, está el signo negativo. Esto significa que el cambio de potencial a través del inductor se opone al cambio de corriente.
¿Cómo se comporta un inductor en un circuito? Si tienes una corriente constante, entonces no hay cambio (corriente continua) y por lo tanto no hay diferencia de potencial a través del inductor—actúa como si no estuviera allí. Si hay una corriente de alta frecuencia (circuito de CA) entonces habrá una gran diferencia de potencial a través del inductor.
¿Qué es un condensador?
De nuevo, hay muchas configuraciones diferentes para un condensador. La forma más sencilla utiliza dos placas conductoras paralelas con carga eléctrica en cada placa (pero con carga neta cero).
La carga eléctrica de estas placas crea un campo eléctrico dentro del condensador. Como hay un campo eléctrico, también debe haber un cambio de potencial eléctrico a través de las placas. El valor de esta diferencia de potencial depende de la cantidad de carga. La diferencia de potencial a través del condensador puede escribirse como:
Aquí C es el valor de la capacitancia en unidades de Faradios–también depende sólo de la configuración física del dispositivo.
Si hay una corriente que entra en el condensador, el valor de la carga en las placas cambiará. Si hay una corriente constante (o de baja frecuencia), esta corriente continuará añadiendo carga a las placas para aumentar el potencial eléctrico de modo que, con el tiempo, este potencial acabará actuando como un circuito abierto con la tensión del condensador igual a la tensión de la batería (o de la fuente de alimentación). Si tienes una corriente de alta frecuencia, la carga será tanto añadida como quitada de las placas en el condensador sin acumulación de carga y el condensador actuará como si no estuviera allí.
¿Qué pasa cuando conectas un condensador y un inductor?
Supongamos que empezamos con un condensador cargado y lo conectamos a un inductor (sin resistencia en el circuito porque estoy usando cables de física perfecta). Piensa en el instante justo en que estos dos están conectados. Supongamos que hay un interruptor, entonces puedo dibujar los siguientes diagramas.
Esto es lo que ocurre. Primero, no hay corriente (ya que el interruptor está abierto). Una vez que el interruptor está cerrado, puede haber una corriente y sin resistencia, esta corriente saltaría hasta el infinito. Sin embargo, este gran aumento de la corriente significa que habrá un cambio en el potencial eléctrico producido a través del inductor. En algún momento, el cambio de potencial a través del inductor será mayor que el del condensador (ya que el condensador pierde carga con el flujo de corriente) y entonces la corriente invertirá su dirección y volverá a cargar el condensador. El proceso se repite—para siempre ya que no hay resistencia.
Modelando un circuito LC.
Se llama un circuito LC porque tiene un inductor (L) y un condensador (C)—Supongo que es obvio. El cambio en el potencial eléctrico alrededor de todo el circuito tiene que ser cero (porque es un bucle) para que pueda escribir:
Tanto Q como I están cambiando con el tiempo. Hay una conexión entre Q e I en el sentido de que la corriente es la tasa de cambio del tiempo en que la carga sale del condensador.
Ahora tengo una ecuación diferencial de segundo orden para la variable carga. No es una ecuación tan difícil de resolver; de hecho, puedo adivinar una solución.
Esto es más o menos lo mismo que la solución para una masa sobre un muelle (excepto que en ese caso es la posición la que cambia, no la carga). Pero ¡espera! No tenemos que adivinar una solución, también se puede resolver este problema con un cálculo numérico. Voy a empezar con los siguientes valores:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (este valor lo obtienes del potencial de partida y de la capacitancia)
Para resolver esto numéricamente, voy a dividir el problema en pequeños pasos de tiempo. Durante cada paso de tiempo, voy a:
- Utilizar la ecuación diferencial anterior para calcular la segunda derivada temporal de la carga (la llamaré ddQ).
- Ahora que conozco ddQ, puedo utilizar el pequeño paso de tiempo para calcular la derivada de la carga (dQ).
- Utilizar el valor de dQ para encontrar el nuevo valor de Q.
- Aumentar el tiempo y seguir hasta que me aburra.
Aquí tienes este cálculo en python (pulsa el botón de play para ejecutarlo).
Creo que está muy bien. Incluso mejor, puedes medir el periodo de oscilación de este circuito (usa el ratón para pasar el ratón y encontrar valores para el tiempo) y luego compararlo con la frecuencia angular esperada usando:
Por supuesto, puedes cambiar algunas cosas en ese programa y ver qué pasa—adelante, no romperás nada permanentemente.
Incluyendo la resistencia—Circuito LRC
El modelo anterior no era realista. Los circuitos reales (especialmente los cables largos de un inductor) tienen resistencia. Si quiero incluir esa resistencia en mi modelo, el circuito se vería así:
Esto cambiará la ecuación del bucle de tensión. Ahora también habrá un término para la caída de potencial a través de la resistencia.
Puedo utilizar de nuevo la conexión entre carga y corriente para obtener la siguiente ecuación diferencial:
Con la adición de la resistencia, esto se convierte en una ecuación mucho más difícil y no podemos simplemente «adivinar» una solución. Sin embargo, no debería ser demasiado difícil modificar nuestro cálculo numérico anterior para resolver este problema. Realmente, lo único que cambia es la línea en la que se calcula la segunda derivada de la carga. He añadido un término allí para tener en cuenta la resistencia (pero no el primer orden). Utilizando una resistencia de 3 Ohms, obtengo lo siguiente (de nuevo, pulsa play para ejecutarlo).
Aquí tienes algunas cosas que puedes probar:
- Cambia el valor de la resistencia. Si el valor es demasiado alto, la corriente se apaga incluso antes de que obtengas una oscilación.
- ¿Y si quieres trazar la corriente en lugar de la tensión a través del condensador? Mira a ver si puedes hacerlo.
- ¿Qué tal un gráfico de la tensión a través de la resistencia?
Sí, también puedes cambiar los valores de C y L, pero ten cuidado. Si son demasiado bajos, la frecuencia será muy alta y tendrás que cambiar el tamaño del paso de tiempo a algo más pequeño.
Circuitos LRC reales
Cuando haces un modelo (ya sea analítico o numérico), a veces no sabes realmente si es legítimo o completamente falso. Una forma de probar tu modelo es hacer una comparación con datos reales. Hagámoslo. Aquí está mi configuración.
Así es como funciona. Primero, uso las tres pilas D para cargar el condensador. Puedo saber cuando está casi completamente cargado mirando el valor del voltaje a través del condensador. A continuación, desconecto las pilas y cierro el interruptor para que el condensador se descargue a través del inductor. La resistencia es sólo parte de los cables–no tengo una resistencia separada.
Probé varias combinaciones diferentes de condensadores e inductores y finalmente conseguí que algo funcionara. Para este caso utilicé un condensador de 5 μF y un viejo transformador de aspecto cutre para mi inductor (no se muestra arriba). No estaba seguro del valor de la inductancia, así que simplemente estimé la frecuencia angular y utilicé mi valor conocido de capacitancia para resolver una inductancia de 13,6 Henrys. Para la resistencia, traté de medir este valor con un medidor de ohmios, pero el uso de un valor de 715 ohmios en mi modelo parecía funcionar mejor.
Aquí es un gráfico de mi modelo numérico y el voltaje como se mide en el circuito real (he utilizado una sonda de tensión diferencial Vernier para obtener la tensión en función del tiempo).
No es un ajuste perfecto – pero es lo suficientemente cerca para mí. Claramente, podría jugar un poco con los parámetros para obtener un mejor ajuste, pero creo que esto demuestra que mi modelo no es una locura.
¿Por qué utilizar un circuito LRC?
La característica clave de este circuito LRC es que tiene una cierta frecuencia natural que depende de los valores de L y C. Supongamos que hago algo un poco diferente. ¿Qué pasa si conecto una fuente de tensión oscilante a este circuito LRC? En ese caso, la corriente máxima del circuito depende de la frecuencia de la fuente de tensión oscilante. Cuando la fuente de tensión está a la misma frecuencia que el circuito LC, se obtiene la mayor corriente.
Aquí es donde podrías utilizar esta idea:
El tubo con el papel de aluminio es un condensador y el tubo con el cable envuelto es un inductor. Juntos (con un diodo y un auricular) hacen una radio de cristal. Sí, yo armé esto con algunos suministros simples (seguí las instrucciones en este video de YouTube). La idea básica es ajustar los valores del condensador y del inductor para «sintonizar» una determinada emisora de radio. No conseguí que funcionara, creo que no hay buenas emisoras de radio AM en los alrededores (o tal vez mi inductor era malo). Sin embargo, encontré este viejo kit de radio de cristal que funcionó un poco mejor.
Encontré una estación que apenas podía oír, así que creo que hay una posibilidad de que mi radio casera no era lo suficientemente bueno para recoger una estación. Pero, ¿cómo funciona exactamente este circuito de resonancia RLC y cómo se obtiene una señal de audio de él? Quizá lo deje para un post posterior.
