Escuela de energía y medio ambiente

Los números de la naturaleza: la secuencia de Fibonacci

La secuencia de Fibonacci siempre ha llamado la atención de la gente ya que, además de tener propiedades matemáticas especiales, otros números tan ubicuos como los de Fibonacci no existen en ningún otro lugar de las matemáticas: aparecen en la geometría, en el álgebra, en la teoría de números, en muchos otros campos de las matemáticas ¡e incluso en la naturaleza! Descubramos juntos de qué se trata…

La vida de Fibonacci
Leonardo Pisano, llamado Fibonacci (Fibonacci significa filius Bonacii) nació en Pisa hacia 1170. Su padre, Guglielmo dei Bonacci, un rico comerciante pisano y representante de los comerciantes de la República de Pisa en la zona de Bugia en Cabilia (en el moderno noreste de Argelia), después de 1192 se llevó a su hijo con él, porque quería que Leonardo se convirtiera en comerciante.

Así consiguió que Leonardo estudiara, bajo la dirección de un maestro musulmán, que le orientó en el aprendizaje de las técnicas de cálculo, especialmente las relativas a los números indoárabes, que aún no se habían introducido en Europa. La educación de Fibonacci comenzó en Bejaia y continuó también en Egipto, Siria y Grecia, lugares que visitó con su padre a lo largo de las rutas comerciales, antes de regresar definitivamente a Pisa a partir de alrededor de 1200. Durante los siguientes 25 años, Fibonacci se dedicó a escribir manuscritos matemáticos: de ellos, el Liber Abaci (1202), gracias al cual Europa conoció los números indo-árabes, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) y Liber Quadratorum (1225) son los que hoy conocemos.
La reputación de Leonardo como matemático llegó a ser tan grande que el emperador Federico II le pidió una audiencia mientras estaba en Pisa en 1225. Después de 1228, no se sabe mucho de la vida de Leonardo, excepto que se le concedió el título de «Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo» en reconocimiento a los grandes progresos que hizo en las matemáticas. Fibonacci murió en algún momento después de 1240, presumiblemente en Pisa.

Los conejos de Fibonacci y la famosa secuencia
Liber Abaci, además de referirse a los números indoárabes, que posteriormente ocuparon el lugar de los números romanos, también incluían una gran colección de problemas dirigidos a los comerciantes, relativos a los precios de los productos, al cálculo de los beneficios comerciales, a la conversión de la moneda en las distintas monedas en uso en los estados mediterráneos, así como otros problemas de origen chino. Junto a estos problemas comerciales había otros, mucho más famosos, que también tuvieron una gran influencia en autores posteriores. Entre ellos, el más famoso, fuente de inspiración para muchos matemáticos de siglos posteriores, es el siguiente: «¿Cuántas parejas de conejos nacerán en un año, partiendo de una única pareja, si cada mes cada pareja da lugar a una nueva pareja que se convierte en reproductora a partir del segundo mes?». La solución a este problema es la famosa «secuencia de Fibonacci»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… una secuencia de números en la que cada miembro es la suma de los dos anteriores.

Una característica importante de la secuencia es el hecho de que la relación entre cualquier número y el anterior de la serie tiende a un valor bien definido: 1,618… Se trata de la proporción áurea o sección áurea, φ (Phi), que se da con frecuencia en la naturaleza (para saber más: La perfección del caracol).
Cuando Fibonacci ilustró esta secuencia, como solución a un problema de «matemáticas recreativas», no le dio especial importancia. Sólo en 1877 el matemático Édouard Lucas publicó una serie de estudios importantes sobre esta secuencia, que decía haber encontrado en el Liber Abaci y que, en honor al autor, llamó «secuencia de Fibonacci». Posteriormente se multiplicaron los estudios y se descubrieron numerosas e inesperadas propiedades de esta secuencia, hasta el punto de que desde 1963 se publica una revista dedicada exclusivamente a ella, «The Fibonacci quarterly».

La secuencia de Fibonacci en la naturaleza
Observando la geometría de las plantas, las flores o los frutos, es fácil reconocer la presencia de estructuras y formas recurrentes. La secuencia de Fibonacci, por ejemplo, desempeña un papel fundamental en la filotaxis, que estudia la disposición de las hojas, las ramas, las flores o las semillas en las plantas, con el objetivo principal de poner de manifiesto la existencia de patrones regulares. Las diversas disposiciones de los elementos naturales siguen regularidades matemáticas sorprendentes: D’arcy Thompson observó que el reino vegetal tiene una curiosa preferencia por determinados números y por ciertas geometrías en espiral, y que estos números y geometrías están estrechamente relacionados.
Podemos encontrar fácilmente los números de la secuencia de Fibonacci en las espirales formadas por flores individuales en las inflorescencias compuestas de margaritas, girasoles, coliflores y brócolis.

Fue Kepler quien observó que en muchos tipos de árboles las hojas se alinean siguiendo un patrón que incluye dos números de Fibonacci. Partiendo de una hoja cualquiera, tras una, dos, tres o cinco vueltas de espiral siempre hay una hoja alineada con la primera y, dependiendo de la especie, ésta será la segunda, la tercera, la quinta, la octava o la decimotercera.

Otro ejemplo sencillo en el que es posible encontrar la secuencia de Fibonacci en la naturaleza viene dado por el número de pétalos de las flores. La mayoría tienen tres (como los lirios y los iris), cinco (parnassia, escaramujos) u ocho (cosmea), 13 (algunas margaritas), 21 (achicoria), 34, 55 u 89 (asteráceas). Estos números forman parte de la famosa secuencia de Fibonacci descrita en el párrafo anterior.

Por Benedetta Palazzo