Consideremos una partícula que se mueve a lo largo del perímetro de un círculo a una velocidad uniforme, de forma que da una vuelta completa cada hora. Para describir el movimiento matemáticamente, se construye un vector desde el centro del círculo hasta la partícula. El vector da una vuelta completa cada hora. En otras palabras, el vector se comporta exactamente como la aguja grande de un reloj de pulsera, una flecha de longitud fija que da una vuelta completa cada hora. El movimiento del punto del vector es un ejemplo de movimiento circular uniforme, y el período T del movimiento es igual a una hora (T = 1 h). La flecha barre un ángulo de 2π radianes (una circunferencia completa) por hora. Esta velocidad se llama frecuencia angular y se escribe ω = 2π h-1. De forma bastante general, para el movimiento circular uniforme en cualquier caso,
Estas definiciones y relaciones son las mismas que para el movimiento armónico, discutido anteriormente.
Consideremos un sistema de coordenadas, como el mostrado en la figura 8A, con el círculo centrado en el origen. En cualquier instante de tiempo, la posición de la partícula puede especificarse dando el radio r del círculo y el ángulo θ entre el vector de posición y el eje x. Aunque r es constante, θ aumenta uniformemente con el tiempo t, de manera que θ = ωt, o dθ/dt = ω, donde ω es la frecuencia angular en la ecuación (26). Sin embargo, a diferencia del caso del reloj de pulsera, ω es positivo por convención cuando la rotación es en el sentido contrario a las agujas del reloj. El vector r tiene componentes x e y dadas por
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Un significado de las ecuaciones (27) y (28) es que, cuando una partícula experimenta un movimiento circular uniforme, sus componentes x e y experimentan cada una un movimiento armónico simple. Sin embargo, no están en fase entre sí: en el instante en que x tiene su máxima amplitud (digamos, en θ = 0), y tiene amplitud cero, y viceversa.
En un tiempo corto, Δt, la partícula se mueve rΔθ a lo largo de la circunferencia del círculo, como se muestra en la figura 8B. La velocidad media de la partícula viene dada, pues, por
La velocidad media de la partícula es un vector dado por
Esta operación de sustracción vectorial se indica en la figura 8B. Produce un vector que es casi perpendicular a r(t) y a r(t + Δt). En efecto, la velocidad instantánea, hallada al permitir que Δt se reduzca a cero, es un vector que es perpendicular a r en cada instante y cuya magnitud es
La relación entre r y v se muestra en la figura 8C. Significa que la velocidad instantánea de la partícula es siempre tangente al círculo.
Nótese que, al igual que el vector posición r puede describirse en términos de las componentes x e y dadas por las ecuaciones (27) y (28), el vector velocidad v puede describirse en términos de sus proyecciones sobre los ejes x e y dadas por
Imagina un nuevo sistema de coordenadas, en el que un vector de longitud ωr se extiende desde el origen y apunta en todo momento en la misma dirección que v. Esta construcción se muestra en la figura 8D. Cada vez que la partícula barre un círculo completo, este vector también barre un círculo completo. De hecho, su punto ejecuta un movimiento circular uniforme con la misma frecuencia angular que la propia partícula. Como los vectores tienen magnitud y dirección, pero no posición en el espacio, el vector que se ha construido es la velocidad v. La velocidad de la partícula está experimentando a su vez un movimiento circular uniforme a la frecuencia angular ω.
Aunque la velocidad de la partícula es constante, la partícula está, sin embargo, acelerada, porque su velocidad cambia constantemente de dirección. La aceleración a viene dada por
Como v es un vector de longitud rω que experimenta un movimiento circular uniforme, las ecuaciones (29) y (30) pueden repetirse, como se ilustra en la figura 8E, dando
Así pues se puede concluir que la aceleración instantánea es siempre perpendicular a v y su magnitud es
Como v es perpendicular a r, y a es perpendicular a v, el vector a está girado 180° respecto a r. Es decir, la aceleración es paralela a r pero en sentido contrario. Se puede llegar a la misma conclusión al darse cuenta de que a tiene componentes x e y dadas por
similar a las ecuaciones (32) y (33). Cuando se comparan las ecuaciones (38) y (39) con las ecuaciones (27) y (28) para x e y, queda claro que las componentes de a son sólo las de r multiplicadas por -ω2, de modo que a = -ω2r. Esta aceleración se llama aceleración centrípeta, lo que significa que es hacia adentro, apuntando a lo largo del radio vector hacia el centro del círculo. A veces es útil expresar la aceleración centrípeta en términos de la velocidad v. Utilizando v = ωr, se puede escribir
