école énergie&environnement

Les nombres de la nature : la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci a toujours attiré l’attention des gens car, en plus d’avoir des propriétés mathématiques particulières, d’autres nombres aussi omniprésents que ceux de Fibonacci n’existent nulle part ailleurs en mathématiques : ils apparaissent en géométrie, en algèbre, en théorie des nombres, dans de nombreux autres domaines des mathématiques et même dans la nature ! Découvrons ensemble de quoi il s’agit…

La vie de Fibonacci
Leonardo Pisano, dit Fibonacci (Fibonacci signifie filius Bonacii) est né à Pise vers 1170. Son père, Guglielmo dei Bonacci, un riche marchand pisan et représentant des marchands de la République de Pise dans la région de Bugia in Cabilia (dans le nord-est moderne de l’Algérie), après 1192, prit son fils avec lui, car il voulait que Léonard devienne un marchand.

Il fait donc étudier Léonard, sous la direction d’un professeur musulman, qui le guide dans l’apprentissage des techniques de calcul, notamment celles concernant les nombres indo-arabes, qui n’avaient pas encore été introduites en Europe. L’éducation de Fibonacci commence à Béjaïa et se poursuit également en Égypte, en Syrie et en Grèce, des endroits qu’il visite avec son père le long des routes commerciales, avant de revenir définitivement à Pise à partir de 1200 environ. Pendant les 25 années suivantes, Fibonacci se consacre à la rédaction de manuscrits mathématiques : parmi ceux-ci, Liber Abaci (1202), grâce auquel l’Europe a pris connaissance des nombres indo-arabes, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) et Liber Quadratorum (1225) nous sont aujourd’hui connus.
La réputation de Léonard en tant que mathématicien devient si grande que l’empereur Frédéric II lui demande audience lors de son passage à Pise en 1225. Après 1228, on ne sait pas grand-chose de la vie de Léonard, si ce n’est qu’il a reçu le titre de « Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo » en reconnaissance de ses grands progrès en mathématiques. Fibonacci mourut quelque temps après 1240, vraisemblablement à Pise.

Les lapins de Fibonacci et la célèbre séquence
Liber Abaci, en plus de se référer à des nombres indo-arabes, qui ont ensuite pris la place des chiffres romains, comprenait également une grande collection de problèmes adressés aux marchands, concernant les prix des produits, le calcul du bénéfice commercial, la conversion des devises dans les différentes pièces en usage dans les États méditerranéens, ainsi que d’autres problèmes d’origine chinoise. À côté de ces problèmes commerciaux, il y en avait d’autres, beaucoup plus célèbres, qui ont également eu une grande influence sur les auteurs ultérieurs. Parmi eux, le plus célèbre, source d’inspiration pour de nombreux mathématiciens des siècles suivants, est le suivant : « Combien de couples de lapins naîtront en un an, à partir d’un seul couple, si chaque mois chaque couple donne naissance à un nouveau couple qui devient reproducteur à partir du deuxième mois ? ». La solution à ce problème est la célèbre « suite de Fibonacci » : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… une suite de nombres dont chaque membre est la somme des deux précédents.

Une caractéristique importante de la suite est le fait que le rapport entre tout nombre et le précédent dans la série tend vers une valeur bien définie : 1,618… C’est le nombre d’or ou section d’or, φ (Phi), que l’on retrouve fréquemment dans la nature (pour en savoir plus : La perfection de l’escargot).
Lorsque Fibonacci a illustré cette suite, comme solution à un problème de « mathématiques récréatives », il ne lui a pas donné d’importance particulière. Ce n’est qu’en 1877 que le mathématicien Édouard Lucas publia un certain nombre d’études importantes sur cette suite, qu’il prétendait avoir trouvée dans le Liber Abaci et qu’il appela, en l’honneur de l’auteur, « suite de Fibonacci ». Les études se sont ensuite multipliées, et des propriétés nombreuses et inattendues de cette suite ont été découvertes, à tel point que depuis 1963, une revue qui lui est exclusivement consacrée, « The Fibonacci quarterly », est publiée.

La suite de Fibonacci dans la nature
En observant la géométrie des plantes, des fleurs ou des fruits, il est facile de reconnaître la présence de structures et de formes récurrentes. La suite de Fibonacci, par exemple, joue un rôle essentiel dans la phyllotaxie, qui étudie la disposition des feuilles, des branches, des fleurs ou des graines des plantes, dans le but principal de mettre en évidence l’existence de motifs réguliers. Les diverses dispositions des éléments naturels suivent des régularités mathématiques surprenantes : D’arcy Thompson a observé que le règne végétal a une curieuse préférence pour des nombres particuliers et pour certaines géométries en spirale, et que ces nombres et géométries sont étroitement liés.
On retrouve facilement les nombres de la suite de Fibonacci dans les spirales formées par les fleurs individuelles dans les inflorescences composites des marguerites, des tournesols, des choux-fleurs et des brocolis.

C’est Kepler qui a remarqué que sur de nombreux types d’arbres, les feuilles sont alignées selon un modèle qui comprend deux nombres de Fibonacci. En partant de n’importe quelle feuille, après un, deux, trois ou cinq tours de spirale, il y a toujours une feuille alignée avec la première et, selon l’espèce, ce sera la deuxième, la troisième, la cinquième, la huitième ou la treizième feuille.

Un autre exemple simple dans lequel il est possible de trouver la séquence de Fibonacci dans la nature est donné par le nombre de pétales des fleurs. La plupart en ont trois (comme les lys et les iris), cinq (parnassia, églantier) ou huit (cosméa), 13 (certaines marguerites), 21 (chicorée), 34, 55 ou 89 (astéracées). Ces nombres font partie de la fameuse suite de Fibonacci décrite au paragraphe précédent.

Par Benedetta Palazzo

.