Que se passe-t-il lorsque vous mettez une inductance et un condensateur dans un circuit ? Quelque chose de plutôt cool… et en fait important.
Qu’est-ce qu’une inductance ?
Vous pouvez fabriquer toutes sortes d’inductances différentes, mais le type le plus courant est une bobine cylindrique de fil… un solénoïde.
Lorsque le courant traverse la première boucle, il crée un champ magnétique qui passe par les autres boucles. Les champs magnétiques ne font pas vraiment quelque chose à moins que la magnitude change. Un champ magnétique qui change va créer un champ électrique dans les autres boucles. La direction de ce champ électrique fera un changement de potentiel électrique qui agit comme une batterie.
A la fin, nous avons un dispositif qui a une différence de potentiel qui est proportionnelle au taux de variation temporel du courant (puisque le courant fait le champ magnétique). Cela peut être écrit comme:
Il y a deux choses à souligner dans cette équation. Premièrement, le L est l’inductance. Elle ne dépend que de la géométrie du solénoïde (ou de la forme que vous avez) et sa valeur est mesurée en Henry. Deuxièmement, il y a le signe négatif. Cela signifie que la variation du potentiel aux bornes de l’inducteur s’oppose à la variation du courant.
Comment se comporte un inducteur dans un circuit ? Si vous avez un courant constant, alors il n’y a pas de changement (courant continu) et donc pas de différence de potentiel aux bornes de l’inducteur— il agit comme s’il n’était même pas là. S’il y a un courant à haute fréquence (circuit alternatif), alors il y aura une grande différence de potentiel à travers l’inducteur.
Qu’est-ce qu’un condensateur ?
Encore, il y a beaucoup de configurations différentes pour un condensateur. La forme la plus simple utilise deux plaques conductrices parallèles avec une charge électrique sur chaque plaque (mais une charge nette de zéro).
La charge électrique sur ces plaques crée un champ électrique à l’intérieur du condensateur. Puisqu’il y a un champ électrique, il doit également y avoir un changement de potentiel électrique entre les plaques. La valeur de cette différence de potentiel dépend de la quantité de charge. La différence de potentiel aux bornes du condensateur peut s’écrire comme suit :
Ici, C est la valeur de la capacité en unités de Farads— elle ne dépend également que de la configuration physique du dispositif.
Si un courant passe dans le condensateur, la valeur de la charge sur les plaques change. S’il y a un courant constant (ou à basse fréquence), ce courant continuera à ajouter de la charge aux plaques pour augmenter le potentiel électrique de sorte qu’avec le temps, ce potentiel finira par agir comme un circuit ouvert avec la tension du condensateur égale à la tension de la batterie (ou de l’alimentation). Si vous avez un courant à haute fréquence, la charge sera à la fois ajoutée et retirée des plaques dans le condensateur sans accumulation de charge et le condensateur agira comme s’il n’était même pas là.
Que se passe-t-il lorsque vous connectez un condensateur et une inductance ?
Supposons que nous commençons avec un condensateur chargé et que nous le branchons à une inductance (aucune résistance dans le circuit car j’utilise des fils de physique parfaite). Pensez à l’instant juste où ces deux-là sont connectés. Supposons qu’il y ait un interrupteur, je peux alors dessiner les schémas suivants.
Voici ce qui se passe. D’abord, il n’y a pas de courant (puisque l’interrupteur est ouvert). Une fois que l’interrupteur est fermé, il peut y avoir un courant et, sans résistance, ce courant sauterait à l’infini. Cependant, cette forte augmentation du courant signifie qu’il y aura un changement de potentiel électrique produit aux bornes de l’inducteur. À un moment donné, le changement de potentiel aux bornes de l’inducteur sera plus important que celui aux bornes du condensateur (puisque le condensateur perd de la charge avec le passage du courant), puis le courant s’inversera et rechargera le condensateur. Le processus se répète—pour toujours puisqu’il n’y a pas de résistance.
Modélisation d’un circuit LC.
On l’appelle un circuit LC parce qu’il a une inductance (L) et un condensateur (C)–je suppose que c’est évident. La variation du potentiel électrique autour de tout le circuit doit être nulle (car c’est une boucle) pour que je puisse écrire :
Les deux Q et I changent avec le temps. Il y a un lien entre Q et I dans le sens où le courant est le taux de variation temporel que la charge quitte le condensateur.
Maintenant j’ai une équation différentielle du second ordre pour la variable charge. Ce n’est pas une équation si difficile à résoudre – en fait, je peux juste deviner une solution.
C’est à peu près la même solution que pour une masse sur un ressort (sauf que dans ce cas, c’est la position qui change, pas la charge). Mais attendez ! Nous ne sommes pas obligés de deviner une solution, vous pouvez aussi résoudre ce problème par un calcul numérique. Je vais commencer avec les valeurs suivantes :
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (vous obtenez cette valeur à partir du potentiel de départ et de la capacité)
Pour résoudre cela numériquement, je vais décomposer le problème en petits pas de temps. Pendant chaque pas de temps, je vais :
- Utiliser l’équation différentielle ci-dessus pour calculer la dérivée seconde en temps de la charge (je l’appellerai ddQ).
- Maintenant que je connais ddQ, je peux utiliser le petit pas de temps pour calculer la dérivée de la charge (dQ).
- Utiliser la valeur de dQ pour trouver la nouvelle valeur de Q.
- Augmenter le temps et continuer jusqu’à ce que je m’ennuie.
Voici ce calcul en python (cliquez sur le bouton play pour l’exécuter).
Je trouve ça plutôt cool. Encore mieux, vous pouvez mesurer la période d’oscillation pour ce circuit (utilisez votre souris pour survoler et trouver des valeurs pour le temps) et ensuite comparer cela à la fréquence angulaire attendue en utilisant :
Bien sûr, vous pouvez changer quelques trucs dans ce programme et voir ce qui se passe—allez-y, vous ne casserez rien de façon permanente.
Incluant la résistance—Circuit LRC
Le modèle ci-dessus n’était pas réaliste. Les circuits réels (notamment les longs fils d’une inductance) ont une résistance. Si je veux inclure cette résistance dans mon modèle, le circuit ressemblerait à ceci:
Cela va changer l’équation de la boucle de tension. Maintenant, il y aura également un terme pour la chute de potentiel à travers la résistance.
Je peux à nouveau utiliser la connexion entre la charge et le courant pour obtenir l’équation différentielle suivante:
Avec l’ajout de la résistance, cela devient une équation beaucoup plus difficile et nous ne pouvons pas simplement « deviner » une solution. Cependant, il ne devrait pas être trop difficile de modifier notre calcul numérique ci-dessus pour résoudre ce problème. En réalité, la seule chose qui change est la ligne dans laquelle la dérivée seconde de la charge est calculée. J’y ai ajouté un terme pour tenir compte de la résistance (mais pas du premier ordre). En utilisant une résistance de 3 Ohms, j’obtiens ce qui suit (encore une fois, appuyez sur play pour l’exécuter).
Voici quelques choses que vous pouvez essayer:
- Changer la valeur de la résistance. Si la valeur est trop élevée, le courant s’éteint avant même que vous ayez une oscillation.
- Et si vous voulez tracer le courant au lieu de la tension à travers le condensateur ? Voyez si vous pouvez le faire.
- Que diriez-vous d’un tracé de la tension aux bornes de la résistance ?
Oui, vous pouvez aussi changer les valeurs de C et L, mais faites attention. Si elles sont trop faibles, la fréquence sera très élevée et vous devrez changer la taille du pas de temps pour quelque chose de plus petit.
Circuits LRC réels
Lorsque vous faites un modèle (soit analytiquement ou numériquement), vous ne savez parfois pas vraiment s’il est légitime ou complètement bidon. Une façon de tester votre modèle est de faire une comparaison avec des données réelles. C’est ce que nous allons faire. Voici ma configuration.
Voici comment cela fonctionne. D’abord, j’utilise les trois piles D pour charger le condensateur. Je peux dire quand il est presque entièrement chargé en regardant la valeur de la tension aux bornes du condensateur. Ensuite, je déconnecte les piles, puis je ferme l’interrupteur pour que le condensateur se décharge à travers l’inducteur. La résistance est juste une partie des fils – je n’ai pas de résistance séparée.
J’ai essayé plusieurs combinaisons différentes de condensateurs et d’inducteurs et j’ai finalement obtenu quelque chose qui fonctionne. Pour ce cas, j’ai utilisé un condensateur de 5 μF et un vieux transformateur d’apparence merdique pour mon inducteur (non montré ci-dessus). Je n’étais pas sûr de la valeur de l’inductance, j’ai donc simplement estimé la fréquence angulaire et utilisé ma valeur connue de la capacité pour résoudre une inductance de 13,6 Henrys. Pour la résistance, j’ai essayé de mesurer cette valeur avec un ohmmètre, mais l’utilisation d’une valeur de 715 Ohms dans mon modèle semblait fonctionner au mieux.
Voici un tracé à partir de mon modèle numérique et de la tension mesurée dans le circuit réel (j’ai utilisé une sonde de tension différentielle Vernier pour obtenir la tension en fonction du temps).
Ce n’est pas un ajustement parfait – mais c’est assez proche pour moi. Clairement, je pourrais jouer un peu avec les paramètres pour obtenir un meilleur ajustement mais je pense que cela montre que mon modèle n’est pas fou.
Pourquoi utiliser un circuit LRC ?
La caractéristique clé de ce circuit LRC est qu’il a une certaine fréquence naturelle qui dépend des valeurs de L et C. Supposons que je fasse quelque chose d’un peu différent. Et si je connecte une source de tension oscillante à ce circuit LRC ? Dans ce cas, le courant maximal dans le circuit dépend de la fréquence de la source de tension oscillante. Lorsque la source de tension est à la même fréquence que le circuit LC, vous obtenez le plus grand courant.
Voici où vous pourriez utiliser cette idée:
Le tube avec la feuille d’aluminium est un condensateur et le tube avec le fil enroulé est une inductance. Ensemble (avec une diode et un écouteur), ils constituent une radio à cristaux. Oui, j’ai assemblé tout cela avec des fournitures simples (j’ai suivi les instructions de cette vidéo YouTube). L’idée de base est d’ajuster les valeurs du condensateur et de l’inducteur pour « syntoniser » une station de radio particulière. Je n’ai pas réussi à le faire fonctionner – je pense qu’il n’y a pas de bonnes stations de radio AM dans le coin (ou peut-être que mon inducteur était nul). Cependant, j’ai trouvé ce vieux kit de radio à cristal qui fonctionnait un peu mieux.
J’ai trouvé une station que je pouvais à peine entendre, donc je pense qu’il y a une chance que ma radio faite maison n’était tout simplement pas assez bonne pour capter une station. Mais comment fonctionne exactement ce circuit de résonance RLC et comment en tirer un signal audio ? Peut-être que je vais garder cela pour un post ultérieur.
