Représentation matricielle
Nous pouvons en fait représenter la formule de Bézier en utilisant la multiplication matricielle, ce qui pourrait être utile dans d’autres contextes, par exemple pour diviser la courbe de Bézier. Si nous revenons à notre exemple, nous pouvons réécrire P(t) comme suit :
Et ainsi toutes les informations sur la courbe de Bézier quadratique sont compactées dans une matrice, M. Maintenant, nous pourrions vouloir trouver les coefficients de cette matrice sans avoir à faire toutes ces étapes, et d’une manière qui est facilement programmable. Puisque les coefficients de la matrice sont simplement les coefficients du polynôme devant chaque Pi, ce que nous recherchons est la forme développée du polynôme de Bernstein eq. 2.
Une dernière chose : si nous développons Bi(t), nous obtiendrons le polynôme devant Pi, qui correspond à la i(ème) colonne de la matrice. Cependant, ce n’est pas vraiment pratique et il serait plus facile de programmer si nous pouvions obtenir des lignes à la place. Cela dit, vous pourriez remarquer que la i(ème) ligne de la matrice est exactement la même que la (n-i)(ème) colonne inversée, et que les coefficients de la (n-i)(ème) colonne inversée ne sont rien d’autre que les coefficients de B(n-i)(t) pris en puissances décroissantes de t.
Vous pouvez vous référer à eq. 2 et eq. 3 si vous avez des difficultés.
Donc, les coefficients de la matrice ne sont rien d’autre que les coefficients devant t, ce qui signifie :
Interpolation
Une application intéressante des courbes de Bézier est de dessiner une courbe lisse passant par un ensemble de points prédéfinis. La raison pour laquelle elle est intéressante est que la formule de P(t) produit des points et n’est pas de la forme y=f(x), donc un x peut avoir plusieurs y (en gros une fonction qui peut « revenir en arrière »). Par exemple, nous pourrions dessiner quelque chose comme ceci:
Cependant, les mathématiques pour produire ce résultat ne sont pas triviales donc j’ai écrit un post dédié pour cela:
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