Considérons une particule se déplaçant le long du périmètre d’un cercle à une vitesse uniforme, de telle sorte qu’elle effectue un tour complet toutes les heures. Pour décrire mathématiquement le mouvement, on construit un vecteur du centre du cercle à la particule. Le vecteur fait ensuite un tour complet toutes les heures. En d’autres termes, le vecteur se comporte exactement comme la grande aiguille d’une montre-bracelet, une flèche de longueur fixe qui effectue une révolution complète toutes les heures. Le mouvement de la pointe du vecteur est un exemple de mouvement circulaire uniforme, et la période T du mouvement est égale à une heure (T = 1 h). La flèche balaie un angle de 2π radians (un cercle complet) par heure. Cette vitesse s’appelle la fréquence angulaire et s’écrit ω = 2π h-1. De manière assez générale, pour un mouvement circulaire uniforme à n’importe quel taux,
Ces définitions et ces relations sont les mêmes que pour le mouvement harmonique, abordé plus haut.
Considérez un système de coordonnées, comme celui de la figure 8A, avec le cercle centré à l’origine. A tout instant, la position de la particule peut être spécifiée en donnant le rayon r du cercle et l’angle θ entre le vecteur position et l’axe des x. Bien que r soit constant, θ augmente uniformément avec le temps t, de sorte que θ = ωt, ou dθ/dt = ω, où ω est la fréquence angulaire dans l’équation (26). Contrairement au cas de la montre-bracelet, cependant, ω est positif par convention lorsque la rotation se fait dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le vecteur r a des composantes x et y données par
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Une signification des équations (27) et (28) est que, lorsqu’une particule subit un mouvement circulaire uniforme, ses composantes x et y subissent chacune un mouvement harmonique simple. Elles ne sont cependant pas en phase l’une avec l’autre : à l’instant où x a son amplitude maximale (disons, à θ = 0), y a une amplitude nulle, et vice versa.
En un temps court, Δt, la particule se déplace rΔθ le long de la circonférence du cercle, comme le montre la figure 8B. La vitesse moyenne de la particule est donc donnée par
La vitesse moyenne de la particule est un vecteur donné par
Cette opération de soustraction vectorielle est indiquée sur la figure 8B. Elle donne un vecteur qui est presque perpendiculaire à r(t) et r(t + Δt). En effet, la vitesse instantanée, trouvée en laissant Δt se réduire à zéro, est un vecteur v qui est perpendiculaire à r à chaque instant et dont la magnitude est
La relation entre r et v est indiquée sur la figure 8C. Elle signifie que la vitesse instantanée de la particule est toujours tangente au cercle.
Notez que, tout comme le vecteur position r peut être décrit en termes de composantes x et y données par les équations (27) et (28), le vecteur vitesse v peut être décrit en termes de ses projections sur les axes x et y, données par
Imaginez un nouveau système de coordonnées, dans lequel un vecteur de longueur ωr s’étend depuis l’origine et pointe à tout moment dans la même direction que v. Cette construction est représentée sur la figure 8D. Chaque fois que la particule balaie un cercle complet, ce vecteur balaie également un cercle complet. En fait, son point exécute un mouvement circulaire uniforme à la même fréquence angulaire que la particule elle-même. Comme les vecteurs ont une magnitude et une direction, mais pas de position dans l’espace, le vecteur qui a été construit est la vitesse v. La vitesse de la particule exécute elle-même un mouvement circulaire uniforme à la fréquence angulaire ω.
Bien que la vitesse de la particule soit constante, la particule est néanmoins accélérée, car sa vitesse change constamment de direction. L’accélération a est donnée par
Puisque v est un vecteur de longueur rω subissant un mouvement circulaire uniforme, les équations (29) et (30) peuvent être répétées, comme illustré sur la figure 8E, donnant
Donc, on peut conclure que l’accélération instantanée est toujours perpendiculaire à v et que sa grandeur est
Puisque v est perpendiculaire à r, et que a est perpendiculaire à v, le vecteur a est tourné de 180° par rapport à r. En d’autres termes, l’accélération est parallèle à r mais dans la direction opposée. On peut arriver à la même conclusion en réalisant que a a des composantes x et y données par
similaires aux équations (32) et (33). Lorsque les équations (38) et (39) sont comparées aux équations (27) et (28) pour x et y, il est clair que les composantes de a sont juste celles de r multipliées par -ω2, de sorte que a = -ω2r. Cette accélération est appelée accélération centripète, ce qui signifie qu’elle est dirigée vers l’intérieur, le long du rayon vecteur, vers le centre du cercle. Il est parfois utile d’exprimer l’accélération centripète en fonction de la vitesse v. En utilisant v = ωr, on peut écrire
