Rappresentazione a matrice
Possiamo effettivamente rappresentare la formula di Bézier usando la moltiplicazione di matrice, che potrebbe essere utile in altri contesti, per esempio per dividere la curva di Bézier. Se torniamo al nostro esempio possiamo riscrivere P(t) come segue:
E così tutte le informazioni sulla curva quadratica di Bézier sono compattate in una matrice, M. Ora, potremmo voler trovare i coefficienti di questa matrice senza dover fare tutti questi passi, e in un modo che sia facilmente programmabile. Poiché i coefficienti della matrice sono semplicemente i coefficienti del polinomio davanti ad ogni Pi, quello che stiamo cercando è la forma espansa del polinomio di Bernstein eq. 2.
Un’altra cosa: se espandiamo Bi(t) otterremo il polinomio davanti a Pi, che corrisponde alla colonna i(th) della matrice. Tuttavia, questo non è molto conveniente e sarebbe più facile da programmare se potessimo ottenere invece le righe. Detto questo, si può notare che l’i(th) riga della matrice è esattamente la stessa della (n-i)(th) colonna invertita, e i coefficienti della (n-i)(th) colonna invertita non sono altro che i coefficienti di B(n-i)(t) presi in potenze decrescenti di t.
Potresti fare riferimento a eq. 2 e eq. 3 se hai qualche problema.
Quindi, i coefficienti della matrice non sono altro che i coefficienti davanti a t, cioè:
Interpolazione
Una interessante applicazione delle curve di Bézier è quella di disegnare una curva liscia che passa attraverso un insieme predefinito di punti. La ragione per cui è interessante è che la formula di P(t) produce punti e non è della forma y=f(x), quindi una x può avere più y (fondamentalmente una funzione che può “andare indietro”). Per esempio potremmo disegnare qualcosa come questo:
Tuttavia, la matematica per produrre questo risultato non è banale quindi ho scritto un post dedicato a questo:
