Consideriamo una particella che si muove lungo il perimetro di un cerchio a una velocità uniforme, tale che compie un giro completo ogni ora. Per descrivere matematicamente il moto, si costruisce un vettore dal centro del cerchio alla particella. Il vettore fa poi un giro completo ogni ora. In altre parole, il vettore si comporta esattamente come la grande lancetta di un orologio da polso, una freccia di lunghezza fissa che fa un giro completo ogni ora. Il moto della punta del vettore è un esempio di moto circolare uniforme, e il periodo T del moto è uguale a un’ora (T = 1 h). La freccia percorre un angolo di 2π radianti (un cerchio completo) all’ora. Questo tasso è chiamato frequenza angolare e si scrive ω = 2π h-1. In generale, per un moto circolare uniforme a qualsiasi velocità,
Queste definizioni e relazioni sono le stesse che per il moto armonico, discusso sopra.
Consideriamo un sistema di coordinate, come mostrato nella Figura 8A, con il cerchio centrato nell’origine. In qualsiasi istante di tempo, la posizione della particella può essere specificata dando il raggio r del cerchio e l’angolo θ tra il vettore posizione e l’asse x. Anche se r è costante, θ aumenta uniformemente con il tempo t, così che θ = ωt, o dθ/dt = ω, dove ω è la frequenza angolare nell’equazione (26). Contrariamente al caso dell’orologio da polso, tuttavia, ω è positivo per convenzione quando la rotazione è in senso antiorario. Il vettore r ha componenti x e y date da
Encyclopædia Britannica, Inc.
Un significato delle equazioni (27) e (28) è che, quando una particella subisce un moto circolare uniforme, le sue componenti x e y subiscono ciascuna un moto armonico semplice. Esse, tuttavia, non sono in fase l’una con l’altra: nell’istante in cui x ha la sua massima ampiezza (diciamo, a θ = 0), y ha ampiezza zero, e viceversa.
In un breve tempo, Δt, la particella si muove rΔθ lungo la circonferenza del cerchio, come mostrato nella figura 8B. La velocità media della particella è quindi data da
La velocità media della particella è un vettore dato da
Questa operazione di sottrazione vettoriale è indicata nella figura 8B. Essa produce un vettore che è quasi perpendicolare a r(t) e r(t + Δt). Infatti, la velocità istantanea, trovata permettendo a Δt di ridursi a zero, è un vettore v che è perpendicolare a r in ogni istante e la cui grandezza è
La relazione tra r e v è indicata nella figura 8C. Significa che la velocità istantanea della particella è sempre tangente al cerchio.
Si noti che, così come il vettore posizione r può essere descritto in termini delle componenti x e y date dalle equazioni (27) e (28), il vettore velocità v può essere descritto in termini delle sue proiezioni sugli assi x e y, date da
Immaginate un nuovo sistema di coordinate, in cui un vettore di lunghezza ωr si estende dall’origine e punta sempre nella stessa direzione di v. Questa costruzione è mostrata nella figura 8D. Ogni volta che la particella compie un cerchio completo, anche questo vettore compie un cerchio completo. Infatti, il suo punto sta eseguendo un moto circolare uniforme alla stessa frequenza angolare della particella stessa. Poiché i vettori hanno grandezza e direzione, ma non posizione nello spazio, il vettore che è stato costruito è la velocità v. La velocità della particella sta subendo essa stessa un moto circolare uniforme alla frequenza angolare ω.
Anche se la velocità della particella è costante, la particella è comunque accelerata, perché la sua velocità cambia costantemente direzione. L’accelerazione a è data da
Siccome v è un vettore di lunghezza rω in moto circolare uniforme, le equazioni (29) e (30) possono essere ripetute, come illustrato nella figura 8E, dando
Quindi, si può concludere che l’accelerazione istantanea è sempre perpendicolare a v e la sua grandezza è
Siccome v è perpendicolare a r, e a è perpendicolare a v, il vettore a è ruotato di 180° rispetto a r. In altre parole, l’accelerazione è parallela a r ma nella direzione opposta. La stessa conclusione può essere raggiunta realizzando che a ha componenti x e y date da
simili alle equazioni (32) e (33). Quando le equazioni (38) e (39) sono confrontate con le equazioni (27) e (28) per x e y, è chiaro che le componenti di a sono solo quelle di r moltiplicate per -ω2, così che a = -ω2r. Questa accelerazione è chiamata accelerazione centripeta, il che significa che è verso l’interno, puntando lungo il vettore raggio verso il centro del cerchio. A volte è utile esprimere l’accelerazione centripeta in termini di velocità v. Usando v = ωr, si può scrivere
