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I numeri della natura: la sequenza di Fibonacci

La sequenza di Fibonacci ha sempre attirato l’attenzione delle persone poiché, oltre ad avere speciali proprietà matematiche, altri numeri così onnipresenti come quelli di Fibonacci non esistono da nessun’altra parte in matematica: appaiono in geometria, algebra, teoria dei numeri, in molti altri campi della matematica e persino in natura! Scopriamo insieme di cosa si tratta…

La vita di Fibonacci
Leonardo Pisano, detto Fibonacci (Fibonacci sta per filius Bonacii) nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre, Guglielmo dei Bonacci, un ricco mercante pisano e rappresentante dei mercanti della Repubblica di Pisa nella zona di Bugia in Cabilia (nella moderna Algeria nord-orientale), dopo il 1192 prese con sé il figlio, perché voleva che Leonardo diventasse un mercante.

Fece così studiare Leonardo, sotto la guida di un maestro musulmano, che lo guidò nell’apprendimento delle tecniche di calcolo, soprattutto quelle relative ai numeri indo-arabi, che non erano ancora state introdotte in Europa. L’educazione di Fibonacci iniziò a Bejaia e continuò anche in Egitto, Siria e Grecia, luoghi che visitò con suo padre lungo le rotte commerciali, prima di tornare definitivamente a Pisa a partire dal 1200 circa. Per i successivi 25 anni, Fibonacci si dedicò alla stesura di manoscritti matematici: di questi, Liber Abaci (1202), grazie al quale l’Europa venne a conoscenza dei numeri indo-arabi, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) e Liber Quadratorum (1225) sono oggi a noi noti.
La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande che l’imperatore Federico II chiese udienza mentre era a Pisa nel 1225. Dopo il 1228, non si sa molto della vita di Leonardo, tranne che gli fu conferito il titolo di “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” in riconoscimento dei grandi progressi che fece nella matematica. Fibonacci morì poco dopo il 1240, presumibilmente a Pisa.

I conigli di Fibonacci e la famosa sequenza
Liber Abaci, oltre a riferirsi ai numeri indo-arabi, che in seguito presero il posto dei numeri romani, comprendevano anche una vasta raccolta di problemi rivolti ai commercianti, riguardanti i prezzi dei prodotti, il calcolo del profitto commerciale, la conversione della moneta nelle varie monete in uso negli stati del Mediterraneo, oltre ad altri problemi di origine cinese. Accanto a questi problemi commerciali ce n’erano altri, molto più famosi, che ebbero anche una grande influenza sugli autori successivi. Tra questi, il più famoso, fonte di ispirazione per molti matematici dei secoli successivi, è il seguente: “Quante coppie di conigli nasceranno in un anno, partendo da una sola coppia, se ogni mese ogni coppia partorisce una nuova coppia che diventa riproduttiva dal secondo mese?”. La soluzione a questo problema è la famosa “sequenza di Fibonacci”: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… una sequenza di numeri in cui ogni membro è la somma dei due precedenti.

Una caratteristica importante della sequenza è il fatto che il rapporto tra un qualsiasi numero e il precedente della serie tende verso un valore ben definito: 1,618… Questo è il rapporto aureo o sezione aurea, φ (Phi), che ricorre frequentemente in natura (per saperne di più: La perfezione della lumaca).
Quando Fibonacci illustrò questa sequenza, come soluzione di un problema di “matematica ricreativa”, non le diede particolare importanza. Solo nel 1877 il matematico Édouard Lucas pubblicò una serie di studi importanti su questa sequenza, che sosteneva di aver trovato nel Liber Abaci e che, in onore dell’autore, chiamò “sequenza di Fibonacci”. In seguito gli studi si moltiplicarono e furono scoperte numerose e inaspettate proprietà di questa sequenza, tanto che dal 1963 viene pubblicata una rivista esclusivamente dedicata ad essa, “The Fibonacci quarterly”.

La sequenza di Fibonacci in natura
Osservando la geometria di piante, fiori o frutti, è facile riconoscere la presenza di strutture e forme ricorrenti. La sequenza di Fibonacci, per esempio, gioca un ruolo fondamentale nella fillotassi, che studia la disposizione di foglie, rami, fiori o semi nelle piante, con lo scopo principale di evidenziare l’esistenza di modelli regolari. Le varie disposizioni degli elementi naturali seguono sorprendenti regolarità matematiche: D’arcy Thompson ha osservato che il regno vegetale ha una curiosa preferenza per particolari numeri e per certe geometrie a spirale, e che questi numeri e geometrie sono strettamente correlati.
Possiamo facilmente trovare i numeri della sequenza di Fibonacci nelle spirali formate dai singoli fiori nelle infiorescenze composte di margherite, girasoli, cavolfiori e broccoli.

È stato Keplero a notare che su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo uno schema che comprende due numeri di Fibonacci. Partendo da una qualsiasi foglia, dopo uno, due, tre o cinque giri della spirale c’è sempre una foglia allineata alla prima e, a seconda della specie, questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l’ottava o la tredicesima foglia.

Un altro semplice esempio in cui è possibile trovare la sequenza di Fibonacci in natura è dato dal numero di petali dei fiori. La maggior parte ne ha tre (come i gigli e gli iris), cinque (parnassia, rosa canina) o otto (cosmea), 13 (alcune margherite), 21 (cicoria), 34, 55 o 89 (asteracee). Questi numeri fanno parte della famosa sequenza di Fibonacci descritta nel paragrafo precedente.

Di Benedetta Palazzo