Vai avanti, collega un induttore e un condensatore e vedi cosa succede

Cosa succede quando metti un induttore e un condensatore in un circuito? Qualcosa di figo—e in realtà importante.

Cos’è un induttore?

Puoi fare tutti i tipi di induttori diversi, ma il tipo più comune è una bobina cilindrica di filo–un solenoide.

Quando la corrente passa attraverso la prima spira, crea un campo magnetico che passa attraverso le altre spire. I campi magnetici in realtà non fanno nulla a meno che la grandezza non cambi. Un campo magnetico che cambia creerà un campo elettrico nelle altre spire. La direzione di questo campo elettrico farà un cambiamento nel potenziale elettrico che agisce come una batteria.

Vedi di più

Alla fine, abbiamo un dispositivo che ha una differenza di potenziale che è proporzionale al tasso di variazione temporale della corrente (poiché la corrente fa il campo magnetico). Questo può essere scritto come:

Ci sono due cose da sottolineare in questa equazione. Primo, la L è l’induttanza. Dipende solo dalla geometria del solenoide (o dalla forma che avete) e il suo valore si misura in Henry. In secondo luogo, c’è il segno negativo. Questo significa che il cambiamento di potenziale attraverso l’induttore si oppone al cambiamento di corrente.

Come si comporta un induttore in un circuito? Se hai una corrente costante, allora non c’è nessun cambiamento (corrente continua) e quindi nessuna differenza di potenziale attraverso l’induttore – si comporta come se non fosse nemmeno lì. Se c’è una corrente ad alta frequenza (circuito AC) allora ci sarà una grande differenza di potenziale attraverso l’induttore.

Cos’è un condensatore?

Ancora, ci sono molte configurazioni diverse per un condensatore. La forma più semplice utilizza due piastre conduttrici parallele con carica elettrica su ogni piastra (ma una carica netta pari a zero).

La carica elettrica su queste piastre crea un campo elettrico all’interno del condensatore. Poiché c’è un campo elettrico, ci deve essere anche un cambiamento di potenziale elettrico attraverso le piastre. Il valore di questa differenza di potenziale dipende dalla quantità di carica. La differenza di potenziale attraverso il condensatore può essere scritta come:

Qui C è il valore della capacità in unità di Farad – dipende anche solo dalla configurazione fisica del dispositivo. Se c’è una corrente costante (o a bassa frequenza), questa corrente continuerà ad aggiungere carica alle piastre per aumentare il potenziale elettrico in modo che nel tempo, questo potenziale alla fine si comporterà come un circuito aperto con la tensione del condensatore uguale alla tensione della batteria (o dell’alimentazione). Se hai una corrente ad alta frequenza, la carica sarà sia aggiunta che tolta dalle piastre nel condensatore senza accumulo di carica e il condensatore si comporterà come se non fosse nemmeno lì.

Cosa succede quando colleghi un condensatore e un induttore?

Supponiamo di iniziare con un condensatore carico e collegarlo a un induttore (nessuna resistenza nel circuito perché sto usando fili fisici perfetti). Pensate all’istante in cui questi due sono collegati. Supponiamo che ci sia un interruttore, allora posso disegnare i seguenti diagrammi.

Ecco cosa succede. In primo luogo, non c’è corrente (poiché l’interruttore è aperto). Una volta che l’interruttore è chiuso, ci può essere una corrente e senza resistenza, questa corrente salterebbe all’infinito. Tuttavia, questo grande aumento di corrente significa che ci sarà un cambiamento nel potenziale elettrico prodotto attraverso l’induttore. Ad un certo punto, il cambiamento di potenziale attraverso l’induttore sarà maggiore di quello attraverso il condensatore (poiché il condensatore perde carica con il flusso di corrente) e quindi la corrente invertirà la direzione e ricaricherà il condensatore. Il processo si ripete—per sempre dato che non c’è resistenza.

Modellazione di un circuito LC.

Si chiama circuito LC perché ha un induttore (L) e un condensatore (C)– credo sia ovvio. Il cambiamento di potenziale elettrico intorno all’intero circuito deve essere zero (perché è un loop) in modo che io possa scrivere:

Sia Q che I cambiano con il tempo. C’è una connessione tra Q e I in quanto la corrente è il tasso di variazione temporale che la carica lascia il condensatore.

Ora ho un’equazione differenziale di secondo ordine per la variabile carica. Questa non è un’equazione così difficile da risolvere—in effetti, posso solo indovinare una soluzione.

Questa è più o meno la stessa soluzione per una massa su una molla (tranne che in questo caso è la posizione che cambia, non la carica). Ma aspettate! Non dobbiamo indovinare una soluzione, si può anche risolvere questo problema con un calcolo numerico. Cominciamo con i seguenti valori:

• C = 5 x 10-3 F
• L = 300 mH
• VC-0 = 3 V
• Q0 = 15 x 10-6 C (si ottiene questo valore dal potenziale di partenza e dalla capacità)

Per risolvere numericamente il problema, lo divido in piccoli passi temporali. Durante ogni passo di tempo, io:

• Utilizzo l’equazione differenziale sopra per calcolare la seconda derivata temporale della carica (la chiamerò ddQ).
• Ora che conosco ddQ, posso usare il piccolo passo di tempo per calcolare la derivata della carica (dQ).
• Utilizzo il valore di dQ per trovare il nuovo valore di Q.
• Aumento il tempo e continuo finché non mi annoio.

Ecco questo calcolo in python (cliccate sul pulsante play per eseguirlo).

Vedi di più

Penso che sia una figata. Ancora meglio, puoi misurare il periodo di oscillazione per questo circuito (usa il mouse per passare il mouse e trovare i valori per il tempo) e poi confrontarlo con la frequenza angolare prevista usando:

Ovviamente puoi cambiare alcune cose in quel programma e vedere cosa succede—fai pure, non romperai nulla in modo permanente.

Compresa la resistenza—Circuito LRC

Il modello precedente non era realistico. I circuiti reali (specialmente i fili lunghi in un induttore) hanno resistenza. Se voglio includere quella resistenza nel mio modello, il circuito dovrebbe apparire così:

Questo cambierà l’equazione del loop di tensione. Ora ci sarà anche un termine per la caduta di potenziale attraverso il resistore.

Posso di nuovo usare la connessione tra carica e corrente per ottenere la seguente equazione differenziale:

Con l’aggiunta del resistore, questa diventa un’equazione molto più difficile e non possiamo semplicemente “indovinare” una soluzione. Tuttavia, non dovrebbe essere troppo difficile modificare il nostro calcolo numerico sopra per risolvere questo problema. In realtà, l’unica cosa che cambia è la linea in cui viene calcolata la derivata seconda della carica. Ho aggiunto un termine per tenere conto della resistenza (ma non del primo ordine). Usando una resistenza di 3 Ohm, ottengo il seguente risultato (di nuovo, premi play per eseguirlo).

Vedi altro

Ecco alcune cose che puoi provare:

• Cambia il valore della resistenza. Se il valore è troppo alto, la corrente muore prima ancora di ottenere un’oscillazione.
• E se volessi tracciare la corrente invece della tensione attraverso il condensatore? Vedi se puoi farlo.
• Che ne dici di un grafico della tensione attraverso la resistenza?

Sì, puoi anche cambiare i valori di C e L, ma fai attenzione. Se sono troppo bassi, la frequenza sarà molto alta e dovrai cambiare la dimensione del passo temporale in qualcosa di più piccolo.

Circuiti reali LRC

Quando fai un modello (sia analiticamente che numericamente), a volte non sai davvero se è legittimo o completamente fasullo. Un modo per testare il tuo modello è fare un confronto con i dati reali. Facciamolo. Ecco il mio setup.

Ecco come funziona. Per prima cosa, uso le tre batterie D-cell per caricare il condensatore. Posso dire quando è quasi completamente carico guardando il valore della tensione attraverso il condensatore. Poi, scollego le batterie e chiudo l’interruttore in modo che il condensatore si scarichi attraverso l’induttore. La resistenza è solo una parte dei fili–non ho una resistenza separata.

Ho provato diverse combinazioni di condensatori e induttori e finalmente ho ottenuto qualcosa che funzionasse. Per questo caso ho usato un condensatore da 5 μF e un vecchio trasformatore di merda per il mio induttore (non mostrato sopra). Non ero sicuro del valore dell’induttanza, così ho solo stimato la frequenza angolare e usato il mio valore noto di capacità per risolvere un’induttanza di 13.6 Henrys. Per la resistenza, ho provato a misurare questo valore con un misuratore di Ohm, ma usando un valore di 715 Ohm nel mio modello sembrava funzionare meglio.

Ecco un grafico sia dal mio modello numerico che dalla tensione misurata nel circuito reale (ho usato una sonda di tensione differenziale Vernier per ottenere la tensione in funzione del tempo).

Non è un adattamento perfetto–ma è abbastanza vicino per me. Chiaramente, potrei giocare un po’ con i parametri per ottenere un adattamento migliore, ma penso che questo dimostri che il mio modello non è pazzo.

Perché usare un circuito LRC?

La caratteristica chiave di questo circuito LRC è che ha una certa frequenza naturale che dipende dai valori di L e C. Supponiamo di fare qualcosa di diverso. Cosa succede se collego una sorgente di tensione oscillante a questo circuito LRC? In questo caso la corrente massima nel circuito dipende dalla frequenza della fonte di tensione oscillante. Quando la sorgente di tensione è alla stessa frequenza del circuito LC, si ottiene la massima corrente.

Ecco dove potresti usare questa idea:

Il tubo con il foglio di alluminio è un condensatore e il tubo con il filo avvolto è un induttore. Insieme (con un diodo e un auricolare) questi fanno una radio a cristalli. Sì, l’ho messo insieme con alcune semplici forniture (ho seguito le istruzioni su questo video di YouTube). L’idea di base è quella di regolare i valori del condensatore e dell’induttore per “sintonizzarsi” su una particolare stazione radio. Non sono riuscito a farlo funzionare – penso che non ci siano buone stazioni radio AM in giro (o forse il mio induttore faceva schifo). Comunque, ho trovato questa vecchia radio a cristalli che ha funzionato un po’ meglio.

Ho trovato una stazione che riuscivo a malapena a sentire, quindi penso che ci sia una possibilità che la mia radio fatta in casa non fosse abbastanza buona per captare una stazione. Ma come funziona esattamente questo circuito di risonanza RLC e come si ottiene un segnale audio da esso? Forse lo terrò da parte per un post successivo.