energia escolar&ambiente

Os números da natureza: a sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci sempre atraiu a atenção das pessoas, pois, além de terem propriedades matemáticas especiais, outros números tão onipresentes como os de Fibonacci não existem em nenhum outro lugar da matemática: eles aparecem na geometria, álgebra, teoria dos números, em muitos outros campos da matemática e até mesmo na natureza! Vamos descobrir juntos o que é …

A vida de Fibonacci
Leonardo Pisano, chamado Fibonacci (Fibonacci significa filius Bonacii) nasceu em Pisa por volta de 1170. Seu pai, Guglielmo dei Bonacci, um rico comerciante de Pisan e representante dos comerciantes da República de Pisa na região de Bugia na Cabilia (no nordeste moderno da Argélia), depois de 1192 levou seu filho com ele, porque queria que Leonardo se tornasse um comerciante.

Ele conseguiu assim que Leonardo estudasse, sob a orientação de um professor muçulmano, que o guiou na aprendizagem de técnicas de cálculo, especialmente aquelas relativas aos números indo-arábicos, que ainda não tinham sido introduzidas na Europa. A educação de Fibonacci começou em Bejaia e continuou também no Egito, Síria e Grécia, lugares que ele visitou com seu pai ao longo das rotas comerciais, antes de retornar permanentemente a Pisa, a partir de cerca de 1200. Durante os 25 anos seguintes, Fibonacci dedicou-se a escrever manuscritos matemáticos: destes, Liber Abaci (1202), graças ao qual a Europa tomou conhecimento dos números indo-arábicos, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) e Liber Quadratorum (1225) são hoje conhecidos por nós.
A reputação de Leonardo como matemático tornou-se tão grande que o Imperador Federico II pediu uma audiência enquanto estava em Pisa em 1225. Depois de 1228, não se sabe muito sobre a vida de Leonardo, exceto que ele recebeu o título de “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo”, em reconhecimento ao grande progresso que ele fez na matemática. Fibonacci morreu algum tempo depois de 1240, presumivelmente em Pisa.

Os coelhos de Fibonacci e a famosa seqüência
Liber Abaci, além de se referir aos números indo-arábicos, que posteriormente tomaram o lugar numerais romanos, também incluiu uma grande coleção de problemas dirigidos aos comerciantes, relativos aos preços dos produtos, cálculo do lucro comercial, conversão de moeda para as diversas moedas em uso nos estados mediterrâneos, bem como outros problemas de origem chinesa. A estes problemas comerciais juntaram-se outros, muito mais famosos, que tiveram também uma grande influência sobre os autores posteriores. Entre eles, a mais famosa, fonte de inspiração para muitos matemáticos de séculos posteriores, é a seguinte: “Quantos pares de coelhos nascerão num ano, a partir de um único par, se a cada mês cada par dá à luz um novo par que se torna reprodutivo a partir do segundo mês?”. A solução para este problema é a famosa “sequência de Fibonacci”: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… uma sequência de números em que cada membro é a soma dos dois anteriores.

Uma característica importante da sequência é o facto de a razão entre qualquer número e o anterior da série tender para um valor bem definido: 1,618… Esta é a razão dourada ou secção dourada, φ (Phi), que ocorre frequentemente na natureza (para saber mais sobre: A perfeição do caracol).
Quando Fibonacci ilustrou esta sequência, como solução para um problema de “matemática recreativa”, ele não lhe deu particular importância. Apenas em 1877 o matemático Édouard Lucas publicou uma série de estudos importantes sobre esta sequência, que ele afirmou ter encontrado em Liber Abaci e que, em honra do autor, chamou de “sequência de Fibonacci”. Posteriormente multiplicaram-se os estudos, e foram descobertas numerosas e inesperadas propriedades desta sequência, tanto que desde 1963, uma revista exclusivamente dedicada a ela, “The Fibonacci quarterly”, foi publicada.

A sequência de Fibonacci na natureza
Observando a geometria das plantas, flores ou frutos, é fácil reconhecer a presença de estruturas e formas recorrentes. A seqüência de Fibonacci, por exemplo, desempenha um papel vital na filotaxia, que estuda a disposição das folhas, ramos, flores ou sementes nas plantas, com o objetivo principal de destacar a existência de padrões regulares. Os vários arranjos de elementos naturais seguem uma surpreendente regularidade matemática: D’arcy Thompson observou que o reino vegetal tem uma curiosa preferência por números particulares e por certas geometrias em espiral, e que estes números e geometrias estão intimamente relacionados.
Nós podemos facilmente encontrar os números da sequência de Fibonacci nas espirais formadas por flores individuais nas inflorescências compostas de margaridas, girassóis, couve-flor e brócolos.

Foi Kepler que notou que em muitos tipos de árvores as folhas estão alinhadas num padrão que inclui dois números de Fibonacci. A partir de qualquer folha, após uma, duas, três ou cinco voltas da espiral há sempre uma folha alinhada com a primeira e, dependendo da espécie, esta será a segunda, a terceira, a quinta, a oitava ou a décima terceira folha.

Outro exemplo simples no qual é possível encontrar a sequência de Fibonacci na natureza é dada pelo número de pétalas de flores. A maioria tem três (como lírios e íris), cinco (parnássia, rose hips) ou oito (cosméticos), 13 (algumas margaridas), 21 (chicória), 34, 55 ou 89 (asteraceae). Estes números fazem parte da famosa sequência de Fibonacci descrita no parágrafo anterior.

Por Benedetta Palazzo