Falando em Três Dimensões

Dê uma olhada nesta imagem de um prisma retangular:

Quantos vértices tem? 8

Quantos vértices tem? 12

Quantas faces? 6

Fácil, certo?

Vamos tentar outra. Veja esta foto de um cone:

> Quantos vértices tem? O ponto no topo conta?

Quantos vértices tem? Hmm, não tenho a certeza. Não é suposto as arestas serem rectas?

Quantos vértices? Isso é fácil! Uma. Há uma cara circular no fundo. Mas isso não é um polígono, então ainda é uma cara? Oh, e o que chamo à outra superfície no cone? As faces não têm que ser planas?

Uma pergunta comum que recebemos dos professores das séries 1, 2, e 3 tem a ver com como descrever os atributos de certos sólidos tridimensionais, especificamente cilindros e cones. De acordo com o TEKS, os alunos devem descrever os sólidos tridimensionais usando linguagem geométrica formal, como vértice, borda e face. O problema é que estamos tentando usar uma linguagem que funciona para uma classe de formas para descrever os atributos de uma classe completamente diferente.

Formas tridimensionais como prismas e pirâmides são poliedros. “Em geometria um poliedro é simplesmente um sólido tridimensional que consiste em uma coleção de polígonos, geralmente unidos em suas bordas”. (Fonte) Estes sólidos têm “faces poligonais planas, bordas retas, e compartilham cantos ou vértices”. (Fonte)

Bolas, cilindros e cones, por outro lado, não são poliedros. Como resultado, não podemos usar exatamente a mesma linguagem para descrevê-los, ou se usarmos a mesma linguagem é com o entendimento de que as definições não são idênticas. Pegue a palavra vértice, por exemplo.

Em um prisma retangular, um vértice é o ponto afiado ou canto onde as bordas se encontram. Um prisma retangular tem 8 vértices.

No entanto, este mesmo termo também pode ser usado para descrever o ponto de um cone. O mesmo termo, mas não a mesma definição. Como diz o Dr. Matemático,

A parte realmente complicada aqui é que o “vértice” de um cone não tem nada a ver com bordas, então ele precisa de uma definição totalmente nova; e eu não consigo pensar em uma definição realmente boa de nível elementar para o que eles obviamente significam, que é simplesmente um “ponto”. Entretanto, enquanto estão no ensino fundamental, usamos o termo vértice de um cone no RRISD para descrever esse atributo de um cone.

Se quisermos que os alunos descrevam e classifiquem esse tipo de sólido tridimensional, então precisamos fornecer linguagem acessível para esse fim.

E quanto aos outros atributos de um cone? Novamente, nosso objetivo é fornecer uma linguagem acessível aos estudantes do ensino fundamental e descritiva desses atributos, reconhecendo que nossos estudantes desenvolverão entendimentos mais formais mais tarde em suas carreiras escolares. Para descrever um cone, nós dizemos que ele tem uma base circular, a superfície plana sobre a qual o cone repousa. Nós também dizemos que ele tem uma borda curva ao longo da base e uma superfície curva que se estende desta borda até o vértice.

E quanto a um cilindro? Agora que temos uma linguagem acessível para descrever atributos de um cone, podemos estender esta linguagem para descrever atributos de cilindros.

O cilindro acima é composto de duas bases circulares, uma em cima e outra em baixo. Tem também duas extremidades curvas, uma em cima e outra em baixo. Finalmente, tem uma superfície curva que se estende desde a borda inferior até a borda superior.

Devo acrescentar que tanto o cone como o cilindro que descrevi são um cone circular direito e um cilindro direito. Tal como com os polígonos e poliedros, existem muitos outros tipos de exemplos destas formas. Por exemplo, o cone ou cilindro pode inclinar-se, tornando-os oblíquos.

É importante que os alunos vejam uma variedade de exemplos de figuras bidimensionais e tridimensionais. Quanto mais eles encontram, mais têm que confrontar suas definições e terminologia, o que serve para fortalecer sua compreensão dos atributos e como eles nos ajudam a identificar e classificar essas figuras.

Então como isso se parece no STAAR?

No teste lançado em 2016, o STAAR fez uma pergunta que abordou esse mesmo tópico e reforçou o vocabulário que estamos usando no RRISD.

A resposta correta é F Eles não têm vértices. Se você olhar para o Conjunto B, você vai notar que ele inclui um cone, que como discutimos anteriormente, tem um vértice. Se a Agência de Educação do Texas não estivesse usando o termo vértice de um cone, então provavelmente teríamos visto o cone incluído no Conjunto A.

Aqui está um pensamento separador do Dr. Matemático:

A definição que você usa depende do que você vai fazer com ele. Se você está apenas descrevendo objetos, minha definição frouxa está bem. Se você vai provar teoremas envolvendo planos e ângulos, você vai querer se restringir à definição poligonal, mas então você não vai fazer nenhuma pergunta sobre cones. Eu acho que as pessoas muitas vezes não percebem que, apesar de sermos particulares quanto às definições em matemática, essas definições variam de campo para campo, pois elas são adaptadas a um determinado contexto. É isso que estou tentando fazer aqui.