Considerar que uma partícula se move ao longo do perímetro de um círculo a uma velocidade uniforme, de tal forma que faz uma revolução completa a cada hora. Para descrever matematicamente o movimento, um vector é construído a partir do centro do círculo até à partícula. O vetor faz então uma revolução completa a cada hora. Em outras palavras, o vetor comporta-se exatamente como a grande mão num relógio de pulso, uma seta de comprimento fixo que faz uma revolução completa a cada hora. O movimento do ponto do vetor é um exemplo de movimento circular uniforme, e o período T do movimento é igual a uma hora (T = 1 h). A seta varre um ângulo de 2π radianos (um círculo completo) por hora. Esta taxa é chamada de frequência angular e está escrita ω = 2π h-1. Em geral, para um movimento circular uniforme em qualquer velocidade,
Estas definições e relações são as mesmas que para o movimento harmónico, discutido acima.
Considerar um sistema de coordenadas, como mostrado na Figura 8A, com o círculo centrado na origem. Em qualquer instante, a posição da partícula pode ser especificada dando o raio r do círculo e o ângulo θ entre o vetor de posição e o eixo x. Embora r seja constante, θ aumenta uniformemente com o tempo t, de modo que θ = ωt, ou dθ/dt = ω, onde ω é a frequência angular na equação (26). Ao contrário do caso do relógio de pulso, no entanto, ω é positivo por convenção quando a rotação é no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O vector r tem componentes x e y dados por
Encyclopædia Britannica, Inc. (Ver texto.)
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Um significado das equações (27) e (28) é que, quando uma partícula sofre um movimento circular uniforme, cada um dos seus componentes x e y sofre um movimento harmónico simples. No entanto, não estão em fase umas com as outras: no instante em que x tem sua amplitude máxima (digamos, em θ = 0), y tem amplitude zero, e vice versa.
Num curto espaço de tempo, Δt, a partícula move-se rΔθ ao longo da circunferência do círculo, como mostra a Figura 8B. A velocidade média da partícula é assim dada por
A velocidade média da partícula é um vetor dado por
Esta operação de subtração vetorial é indicada na Figura 8B. Ela produz um vetor que é quase perpendicular a r(t) e r(t + Δt). De fato, a velocidade instantânea, encontrada ao permitir que Δt encolha a zero, é um vetor v que é perpendicular a r em cada instante e cuja magnitude é
A relação entre r e v é mostrada na Figura 8C. Isso significa que a velocidade instantânea da partícula é sempre tangente ao círculo.
Notem que, assim como o vetor de posição r pode ser descrito em termos dos componentes x e y dados pelas equações (27) e (28), o vetor de velocidade v pode ser descrito em termos de suas projeções sobre os eixos x e y, dado por
Imagine um novo sistema de coordenadas, no qual um vetor de comprimento ωr se estende desde a origem e aponta sempre na mesma direção que a v. Esta construção é mostrada na Figura 8D. Cada vez que a partícula varre um círculo completo, este vetor também varre um círculo completo. De facto, o seu ponto é executar um movimento circular uniforme na mesma frequência angular que a própria partícula. Como os vectores têm magnitude e direcção, mas não posição no espaço, o vector que foi construído é a velocidade v. A velocidade da partícula está ela própria a sofrer um movimento circular uniforme à frequência angular ω.
Embora a velocidade da partícula seja constante, a partícula é acelerada, porque a sua velocidade está em constante mudança de direcção. A aceleração a é dada por
Desde que v é um vetor de comprimento rω passando por um movimento circular uniforme, as equações (29) e (30) podem ser repetidas, como ilustrado na Figura 8E, dando
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Assim, pode-se concluir que a aceleração instantânea é sempre perpendicular a v e sua magnitude é
Desde que v é perpendicular a r, e a é perpendicular a v, o vetor a é girado 180° em relação a r. Em outras palavras, a aceleração é paralela a r, mas no sentido oposto. A mesma conclusão pode ser alcançada percebendo que a tem componentes x e y dados por
>similares às equações (32) e (33). Quando as equações (38) e (39) são comparadas com as equações (27) e (28) para x e y, fica claro que os componentes de a são apenas os de r multiplicados por -ω2, de modo que a = -ω2r. Esta aceleração é chamada de aceleração centrípeta, significando que ela está para dentro, apontando ao longo do vetor do raio em direção ao centro do círculo. É por vezes útil expressar a aceleração centrípeta em termos da velocidade v. Usando v = ωr, pode-se escrever
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