O que acontece quando você coloca um indutor e um condensador em um circuito? Alguma coisa fria — e realmente importante.
O que é um indutor?
Você pode fazer todo tipo de indutores diferentes, mas o tipo mais comum é uma bobina cilíndrica de fio — um solenóide.
Quando a corrente passa através do primeiro laço, cria um campo magnético que passa através dos outros laços. Os campos magnéticos não fazem realmente nada a não ser que a magnitude mude. Um campo magnético em mudança irá criar um campo elétrico nos outros loops. A direção deste campo elétrico fará uma mudança no potencial elétrico que age como uma bateria.
No final, temos um dispositivo que tem uma diferença de potencial que é proporcional à taxa de tempo de mudança da corrente (já que a corrente faz o campo magnético). Isto pode ser escrito como:
Existem duas coisas a apontar nesta equação. Primeiro, o L é a indutância. Depende apenas da geometria do solenóide (ou qualquer forma que você tenha) e seu valor é medido em Henry’s. Segundo, há o sinal negativo. Isto significa que a mudança de potencial através do indutor se opõe à mudança de corrente.
Como é que um indutor se comporta num circuito? Se você tem uma corrente constante, então não há mudança (corrente DC) e, portanto, nenhuma diferença de potencial através do indutor… ele age como se não estivesse mesmo lá. Se houver uma corrente de alta freqüência (circuito AC), então haverá uma grande diferença de potencial através do indutor.
O que é um condensador?
Again, há muitas configurações diferentes para um condensador. A forma mais simples utiliza duas placas condutoras paralelas com carga eléctrica em cada placa (mas uma carga líquida de zero).
A carga eléctrica nestas placas cria um campo eléctrico no interior do condensador. Como há um campo elétrico, também deve haver uma mudança no potencial elétrico através das placas. O valor desta diferença de potencial depende da quantidade de carga. A diferença de potencial através do condensador pode ser escrita como:
Aqui C é o valor da capacitância em unidades de Farads— também depende apenas da configuração física do dispositivo.
Se houver uma corrente entrando no condensador, o valor da carga nas placas irá mudar. Se houver uma corrente constante (ou baixa freqüência), esta corrente continuará a adicionar carga às placas para aumentar o potencial elétrico, de modo que, com o tempo, este potencial irá eventualmente agir como um circuito aberto com a voltagem do condensador igual à voltagem da bateria (ou fonte de alimentação). Se tiver uma corrente de alta frequência, a carga será adicionada e retirada das placas do condensador sem acumulação de carga e o condensador actuará como se não estivesse lá.
O que acontece quando se liga um condensador e um indutor?
Se começarmos com um condensador carregado e ligámo-lo a um indutor (sem resistência no circuito porque estou a usar fios de física perfeita). Pense no instante certo quando estes dois estão conectados. Suponha que haja um interruptor, então eu posso desenhar os seguintes diagramas.
Aqui está o que está acontecendo. Primeiro, não há corrente (uma vez que o interruptor está aberto). Uma vez que o interruptor está fechado, pode haver uma corrente e sem resistência, esta corrente saltaria para o infinito. Entretanto, este grande aumento de corrente significa que haverá uma mudança no potencial elétrico produzido através do indutor. Em algum momento, a mudança de potencial através do indutor será maior do que aquela através do condensador (já que o condensador perde carga com o fluxo de corrente) e então a corrente inverterá as direções e carregará o condensador de volta para cima. O processo se repete – para sempre, pois não há resistência.
Modelando um circuito LC.
É chamado de circuito LC porque tem um indutor (L) e um condensador (C)— Acho que isso é óbvio. A mudança no potencial elétrico ao redor de todo o circuito tem que ser zero (porque é um loop) para que eu possa escrever:
Both Q e eu estamos mudando com o tempo. Há uma conexão entre Q e I em que a corrente é a taxa de mudança de tempo que a carga deixa o condensador.
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Agora eu tenho uma equação diferencial de segunda ordem para a variável carga. Esta não é uma equação tão difícil de resolver — na verdade, posso apenas adivinhar em uma solução.
Esta é praticamente a mesma solução para uma massa em uma mola (exceto nesse caso é a posição que muda, não a carga). Mas espere! Não temos que adivinhar uma solução, você também pode resolver este problema com um cálculo numérico. Deixe-me começar com os seguintes valores:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (obtém-se este valor a partir do potencial inicial e da capacidade)
Para resolver isto numericamente, vou dividir o problema em pequenos passos de tempo. Durante cada passo de tempo, irei:
- Utilizar a equação diferencial acima para calcular a segunda derivada de tempo da carga (chamarei isto ddQ).
- Agora eu sei ddQ, posso usar o pequeno passo de tempo para calcular a derivada da carga (dQ).
- Utilizar o valor de dQ para encontrar o novo valor de Q.
- Incrementar o tempo e continuar até eu ficar entediado.
Aqui está este cálculo em python (clique no botão play para executá-lo).
Eu acho isso muito legal. Melhor ainda, você pode medir o período de oscilação deste circuito (use o mouse para pairar e encontrar valores para o tempo) e depois comparar isso com a freqüência angular esperada usando:
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Obviamente você pode mudar algumas coisas naquele programa e ver o que acontece— vá em frente, você não vai quebrar nada permanentemente.
Incluindo Resistência—LRC Circuit
O modelo acima não era realista. Circuitos reais (especialmente os fios longos em um indutor) têm resistência. Se eu quisesse incluir essa resistência no meu modelo, o circuito teria esta aparência:
Isto irá mudar a equação do circuito de voltagem. Agora também haverá um termo para a queda potencial através do resistor.
I pode novamente usar a conexão entre carga e corrente para obter a seguinte equação diferencial:
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Com a adição do resistor, esta se torna uma equação muito mais difícil e não podemos simplesmente “adivinhar” uma solução. No entanto, não deve ser muito difícil modificar o nosso cálculo numérico acima para resolver este problema. Realmente, a única coisa que muda é a linha na qual a segunda derivada da carga é calculada. Eu adicionei um termo lá para explicar a resistência (mas não a Primeira Ordem). Usando uma resistência de 3 Ohms, eu recebo o seguinte (novamente, pressione play para executá-la).
Aqui estão algumas coisas que você pode tentar:
- Mudar o valor da resistência. Se o valor for muito alto, a corrente diminui antes mesmo de você obter uma oscilação.
- E se você quiser traçar a corrente em vez da tensão através do condensador? Veja se você pode fazer isso.
- E se você quiser plotar a voltagem através da resistência?
Sim, você também pode mudar os valores para C e L, mas tenha cuidado. Se eles forem muito baixos, a frequência será muito alta e você precisará mudar o tamanho do passo do tempo para algo menor.
Circuitos reais de LRC
Quando você faz um modelo (analiticamente ou numericamente), às vezes você não sabe realmente se ele é legítimo ou completamente falso. Uma maneira de testar o seu modelo é fazer uma comparação com dados reais. Vamos fazer isso. Aqui está a minha configuração.
É assim que funciona. Primeiro, eu uso as três baterias da célula D para carregar o condensador. Posso dizer quando está quase totalmente carregado, olhando para o valor da voltagem através do condensador. Em seguida, desligue as baterias e depois feche o interruptor para que o condensador descarregue através do indutor. A resistência é apenas parte dos fios… Eu não tenho uma resistência separada.
Tentei várias combinações diferentes de condensadores e indutores e finalmente consegui algo para funcionar. Para este caso eu usei um capacitor 5 μF e um velho transformador de aparência ruim para o meu indutor (não mostrado acima). Eu não tinha certeza sobre o valor da indutância, então eu apenas estimei a freqüência angular e usei meu valor conhecido de capacitância para resolver para uma indutância de 13,6 Henrys. Para a resistência, tentei medir este valor com um medidor Ohm, mas usando um valor de 715 Ohms no meu modelo pareceu funcionar melhor.
Aqui está um gráfico tanto do meu modelo numérico como da tensão medida no circuito real (usei uma sonda de tensão diferencial Vernier para obter tensão em função do tempo).
Não é um ajuste perfeito… mas está perto o suficiente para mim. Claramente, eu poderia brincar um pouco com os parâmetros para conseguir um ajuste melhor, mas acho que isto mostra que meu modelo não é louco.
Por que usar um circuito LRC?
A característica chave deste circuito LRC é que ele tem alguma frequência natural que depende dos valores de L e C. Suponha que eu faça algo um pouco diferente. E se eu ligar uma fonte de tensão oscilante a este circuito de LRC? Nesse caso, a corrente máxima no circuito depende da freqüência da fonte de tensão oscilante. Quando a fonte de tensão está na mesma freqüência do circuito LC, você obtém a maior corrente.
Aqui é onde você poderia usar esta idéia:
O tubo com a folha de alumínio é um condensador e o tubo com o fio enrolado é um indutor. Juntos (com um diodo e um auricular) estes fazem um rádio de cristal. Sim, eu juntei isto com alguns suprimentos simples (segui as instruções neste vídeo do YouTube). A ideia básica é ajustar os valores do condensador e do indutor para “sintonizar” uma determinada estação de rádio. Eu não consegui fazer com que funcionasse… Eu acho que não há nenhuma boa estação de rádio AM por perto (ou talvez o meu indutor tenha sido sugado). Entretanto, eu encontrei este velho kit de rádio de cristal que funcionava um pouco melhor.
Eu encontrei uma estação que eu mal conseguia ouvir, então eu acho que há uma chance do meu rádio caseiro simplesmente não ser bom o suficiente para pegar uma estação. Mas como exatamente esse circuito de ressonância RLC funciona e como se obtém um sinal de áudio dele? Talvez eu guarde isso para um post posterior.
