Ce se întâmplă când puneți un inductor și un condensator într-un circuit? Ceva destul de mișto – și de fapt important.
Ce este un inductor?
Puteți face tot felul de tipuri diferite de inductori, dar cel mai comun tip este o bobină cilindrică de sârmă – un solenoid.
Când curentul trece prin prima buclă, el creează un câmp magnetic care trece prin celelalte bucle. Câmpurile magnetice nu fac cu adevărat nimic dacă nu se schimbă magnitudinea. Un câmp magnetic care se schimbă va crea un câmp electric în celelalte bucle. Direcția acestui câmp electric va face o schimbare a potențialului electric care acționează ca o baterie.
În final, avem un dispozitiv care are o diferență de potențial care este proporțională cu rata de variație în timp a curentului (din moment ce curentul creează câmpul magnetic). Acest lucru poate fi scris sub forma:
Există două lucruri care trebuie evidențiate în această ecuație. În primul rând, L este inductanța. Aceasta depinde doar de geometria solenoidului (sau de orice altă formă pe care o aveți) și valoarea sa se măsoară în Henry’s. În al doilea rând, există semnul negativ. Aceasta înseamnă că modificarea potențialului la nivelul inductorului se opune modificării curentului.
Cum se comportă un inductor într-un circuit? Dacă aveți un curent constant, atunci nu există nicio schimbare (curent continuu) și, prin urmare, nicio diferență de potențial la nivelul inductorului – acesta se comportă ca și cum nici măcar nu ar fi acolo. Dacă există un curent de înaltă frecvență (circuit de curent alternativ), atunci va exista o diferență mare de potențial la nivelul inductorului.
Ce este un condensator?
Încă o dată, există o mulțime de configurații diferite pentru un condensator. Cea mai simplă formă folosește două plăci conductoare paralele cu sarcină electrică pe fiecare placă (dar o sarcină netă de zero).
Capacitatea electrică de pe aceste plăci creează un câmp electric în interiorul condensatorului. Deoarece există un câmp electric, trebuie să existe, de asemenea, o modificare a potențialului electric de-a lungul plăcilor. Valoarea acestei diferențe de potențial depinde de cantitatea de sarcină. Diferența de potențial de-a lungul condensatorului poate fi scrisă sub forma:
Aici C este valoarea capacității în unități de Farad – de asemenea, depinde doar de configurația fizică a dispozitivului.
Dacă există un curent care intră în condensator, valoarea sarcinii de pe plăci se va schimba. Dacă există un curent constant (sau de frecvență joasă), acest curent va continua să adauge sarcină pe plăci pentru a crește potențialul electric astfel încât, în timp, acest potențial va acționa în cele din urmă ca un circuit deschis cu tensiunea condensatorului egală cu tensiunea bateriei (sau a sursei de alimentare). Dacă aveți un curent de înaltă frecvență, sarcina va fi atât adăugată, cât și eliminată de pe plăcile condensatorului, fără a se acumula sarcină, iar condensatorul va acționa ca și cum nici măcar nu ar fi acolo.
Ce se întâmplă când conectați un condensator și un inductor?
Să presupunem că începem cu un condensator încărcat și îl conectăm la un inductor (fără rezistență în circuit, deoarece folosesc fire fizice perfecte). Gândiți-vă la momentul exact când aceste două sunt conectate. Să presupunem că există un comutator, atunci pot să desenez următoarele diagrame.
Iată ce se întâmplă. În primul rând, nu există curent (deoarece comutatorul este deschis). Odată ce întrerupătorul este închis, poate exista un curent și, neexistând rezistență, acest curent ar sări până la infinit. Cu toate acestea, această creștere mare a curentului înseamnă că va exista o modificare a potențialului electric produs la nivelul inductorului. La un moment dat, modificarea potențialului la nivelul inductorului va fi mai mare decât cea la nivelul condensatorului (deoarece condensatorul pierde sarcină odată cu trecerea curentului) și atunci curentul va inversa direcția și va încărca din nou condensatorul. Procesul se repetă–pentru totdeauna, deoarece nu există rezistență.
Modelarea unui circuit LC.
Se numește circuit LC pentru că are un inductor (L) și un condensator (C)— cred că este evident. Variația potențialului electric în jurul întregului circuit trebuie să fie zero (pentru că este o buclă), astfel încât să pot scrie:
Atât Q cât și I se modifică în timp. Există o legătură între Q și I în sensul că curentul este rata de variație a timpului în care sarcina părăsește condensatorul.
Acum am o ecuație diferențială de ordinul doi pentru variabila sarcină. Aceasta nu este o ecuație atât de greu de rezolvat – de fapt, pot doar să ghicesc o soluție.
Este cam aceeași soluție ca și soluția pentru o masă pe un resort (cu excepția faptului că, în acest caz, poziția este cea care se schimbă, nu sarcina). Dar așteptați! Nu trebuie să ghicim o soluție, puteți rezolva această problemă și cu un calcul numeric. Să încep cu următoarele valori:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (această valoare se obține din potențialul de pornire și din capacitate)
Pentru a rezolva numeric, voi împărți problema în pași mici de timp. În timpul fiecărui pas de timp, voi:
- Utiliza ecuația diferențială de mai sus pentru a calcula a doua derivată în timp a sarcinii (o voi numi ddQ).
- Acum că știu ddQ, pot folosi pasul de timp mic pentru a calcula derivata sarcinii (dQ).
- Utilizați valoarea lui dQ pentru a găsi noua valoare a lui Q.
- Creșteți timpul și continuați până când mă plictisesc.
Iată acest calcul în python (faceți clic pe butonul de redare pentru a-l rula).
Cred că este destul de mișto. Chiar mai bine, puteți măsura perioada de oscilație pentru acest circuit (folosiți mouse-ul pentru a trece pe deasupra și a găsi valori pentru timp) și apoi comparați-o cu frecvența unghiulară așteptată folosind:
Desigur că puteți schimba unele lucruri în acel program și să vedeți ce se întâmplă – dați-i drumul, nu veți strica permanent nimic.
Incluzând rezistența—Circuitul LRC
Modelul de mai sus nu era realist. Circuitele reale (în special firele lungi dintr-un inductor) au rezistență. Dacă vreau să includ acea rezistență în modelul meu, circuitul ar arăta astfel:
Aceasta va schimba ecuația buclei de tensiune. Acum va exista, de asemenea, un termen pentru căderea de potențial pe rezistor.
Pot folosi din nou legătura dintre sarcină și curent pentru a obține următoarea ecuație diferențială:
Cu adăugarea rezistorului, aceasta devine o ecuație mult mai dificilă și nu putem doar „ghici” o soluție. Cu toate acestea, nu ar trebui să fie prea dificil să modificăm calculul nostru numeric de mai sus pentru a rezolva această problemă. Într-adevăr, singurul lucru care se schimbă este linia în care se calculează derivata a doua a sarcinii. Am adăugat un termen acolo pentru a ține cont de rezistență (dar nu și de ordinul întâi). Folosind o rezistență de 3 Ohmi, obțin următoarele (din nou, apăsați play pentru a-l rula).
Iată câteva lucruri pe care le puteți încerca:
- Schimbă valoarea rezistenței. Dacă valoarea este prea mare, curentul se stinge înainte de a obține măcar o oscilație.
- Ce se întâmplă dacă doriți să reprezentați grafic curentul în loc de tensiunea pe condensator? Vedeți dacă puteți face asta.
- Ce ziceți de o reprezentare grafică a tensiunii pe rezistor?
Da, puteți schimba și valorile pentru C și L, dar aveți grijă. Dacă acestea sunt prea mici, frecvența va fi foarte mare și va trebui să schimbați dimensiunea pasului de timp la ceva mai mic.
Circuite LRC reale
Când faci un model (fie analitic, fie numeric), uneori nu prea știi dacă este legitim sau complet fals. O modalitate de a vă testa modelul este de a face o comparație cu date reale. Haideți să facem acest lucru. Iată configurația mea.
Acesta este modul în care funcționează. În primul rând, folosesc cele trei baterii D-cell pentru a încărca condensatorul. Îmi pot da seama când este aproape complet încărcat uitându-mă la valoarea tensiunii pe condensator. În continuare, deconectez bateriile și apoi închid comutatorul astfel încât condensatorul să se descarce prin inductor. Rezistența este doar o parte a firelor – nu am o rezistență separată.
Am încercat mai multe combinații diferite de condensatori și inductori și în cele din urmă am reușit să fac ceva să funcționeze. Pentru acest caz am folosit un condensator de 5 μF și un transformator vechi cu aspect de rahat pentru inductorul meu (nu este prezentat mai sus). Nu eram sigur de valoarea inductanței, așa că am estimat doar frecvența unghiulară și am folosit valoarea cunoscută a capacității mele pentru a rezolva pentru o inductanță de 13,6 Henrys. Pentru rezistență, am încercat să măsor această valoare cu un ohmetru, dar utilizarea unei valori de 715 Ohmi în modelul meu părea să funcționeze cel mai bine.
Iată un grafic atât din modelul meu numeric, cât și din tensiunea măsurată în circuitul real (am folosit o sondă de tensiune diferențială Vernier pentru a obține tensiunea în funcție de timp).
Nu este o potrivire perfectă – dar este suficient de aproape pentru mine. În mod clar, aș putea să mă joc puțin cu parametrii pentru a obține o potrivire mai bună, dar cred că acest lucru arată că modelul meu nu este nebunesc.
De ce să folosesc un circuit LRC?
Caracteristica cheie a acestui circuit LRC este că are o anumită frecvență naturală care depinde de valorile lui L și C. Să presupunem că fac ceva puțin diferit. Ce se întâmplă dacă conectez o sursă de tensiune oscilantă la acest circuit LRC? În acest caz, curentul maxim din circuit depinde de frecvența sursei de tensiune oscilantă. Când sursa de tensiune este la aceeași frecvență ca și circuitul LC, obțineți cel mai mare curent.
Iată unde ați putea folosi această idee:
Tubul cu folie de aluminiu este un condensator, iar tubul cu sârmă înfășurată este un inductor. Împreună (cu o diodă și o cască) acestea formează un radio cu cristal. Da, am asamblat asta cu niște consumabile simple (am urmat instrucțiunile din acest videoclip de pe YouTube). Ideea de bază este de a regla valorile atât ale condensatorului, cât și ale inductorului pentru a „acorda” un anumit post de radio. Nu am reușit să-l fac să funcționeze… cred că pur și simplu nu există posturi de radio AM bune în zonă (sau poate că inductorul meu era nașpa). Cu toate acestea, am găsit acest kit vechi de radio cu cristale care a funcționat un pic mai bine.
Am găsit un post pe care abia îl puteam auzi, așa că mă gândesc că există o șansă ca radioul meu făcut în casă să nu fi fost suficient de bun pentru a capta un post. Dar cum funcționează mai exact acest circuit de rezonanță RLC și cum se obține un semnal audio de la el? Poate o să păstrez asta pentru o postare ulterioară.
