Mișcarea circulară

Considerăm o particulă care se mișcă de-a lungul perimetrului unui cerc cu o viteză uniformă, astfel încât face o revoluție completă la fiecare oră. Pentru a descrie matematic mișcarea, se construiește un vector din centrul cercului până la particulă. Vectorul face apoi o revoluție completă la fiecare oră. Cu alte cuvinte, vectorul se comportă exact ca acul mare de la un ceas de mână, o săgeată de lungime fixă care face o revoluție completă la fiecare oră. Mișcarea punctului vectorului este un exemplu de mișcare circulară uniformă, iar perioada T a mișcării este egală cu o oră (T = 1 h). Săgeata parcurge un unghi de 2π radiani (un cerc complet) pe oră. Această rată se numește frecvență unghiulară și se scrie ω = 2π h-1. În general, pentru o mișcare circulară uniformă la orice frecvență,

Aceste definiții și relații sunt aceleași ca și în cazul mișcării armonice, discutate mai sus.

Considerați un sistem de coordonate, așa cum este prezentat în figura 8A, cu cercul centrat la origine. În orice moment de timp, poziția particulei poate fi specificată prin indicarea razei r a cercului și a unghiului θ dintre vectorul de poziție și axa x. Deși r este constantă, θ crește uniform cu timpul t, astfel încât θ = ωt, sau dθ/dt = ω, unde ω este frecvența unghiulară din ecuația (26). Spre deosebire de cazul ceasului de mână, totuși, ω este pozitiv prin convenție atunci când rotația este în sens invers acelor de ceasornic. Vectorul r are componentele x și y date de

Unul dintre sensurile ecuațiilor (27) și (28) este că, atunci când o particulă suferă o mișcare circulară uniformă, componentele sale x și y suferă fiecare o mișcare armonică simplă. Cu toate acestea, ele nu sunt în fază una cu cealaltă: în momentul în care x are amplitudinea maximă (să zicem, la θ = 0), y are amplitudinea zero, și viceversa.

Într-un timp scurt, Δt, particula se deplasează rΔθ de-a lungul circumferinței cercului, așa cum se arată în figura 8B. Viteza medie a particulei este astfel dată de

Viteza medie a particulei este un vector dat de

Această operație de scădere a vectorilor este indicată în figura 8B. Ea produce un vector care este aproape perpendicular pe r(t) și r(t + Δt). Într-adevăr, viteza instantanee, găsită lăsând Δt să se micșoreze până la zero, este un vector v care este perpendicular pe r în fiecare clipă și a cărui mărime este

Relația dintre r și v este indicată în figura 8C. Aceasta înseamnă că viteza instantanee a particulei este întotdeauna tangentă la cerc.

Observați că, așa cum vectorul de poziție r poate fi descris în termenii componentelor x și y date de ecuațiile (27) și (28), vectorul viteză v poate fi descris în termenii proiecțiilor sale pe axele x și y, date de

Imaginați un nou sistem de coordonate, în care un vector de lungime ωr se extinde de la origine și punctează în orice moment în aceeași direcție cu v. Această construcție este prezentată în figura 8D. De fiecare dată când particula parcurge un cerc complet, acest vector parcurge, de asemenea, un cerc complet. De fapt, punctul său execută o mișcare circulară uniformă la aceeași frecvență unghiulară ca și particula însăși. Deoarece vectorii au mărime și direcție, dar nu și poziție în spațiu, vectorul care a fost construit este viteza v. Viteza particulei execută ea însăși o mișcare circulară uniformă la frecvența unghiulară ω.

Deși viteza particulei este constantă, particula este totuși accelerată, deoarece viteza sa își schimbă constant direcția. Accelerația a este dată de

Din moment ce v este un vector de lungime rω care suferă o mișcare circulară uniformă, ecuațiile (29) și (30) pot fi repetate, așa cum este ilustrat în figura 8E, rezultând

Așa, se poate concluziona că accelerația instantanee este întotdeauna perpendiculară pe v, iar mărimea ei este

Din moment ce v este perpendicular pe r, iar a este perpendicular pe v, vectorul a este rotit cu 180° față de r. Cu alte cuvinte, accelerația este paralelă cu r, dar în sens opus. La aceeași concluzie se poate ajunge realizând că a are componentele x și y date de

similare cu ecuațiile (32) și (33). Când ecuațiile (38) și (39) sunt comparate cu ecuațiile (27) și (28) pentru x și y, este clar că componentele lui a sunt doar cele ale lui r înmulțite cu -ω2, astfel încât a = -ω2r. Această accelerație se numește accelerație centripetă, ceea ce înseamnă că este interioară, îndreptată de-a lungul vectorului rază spre centrul cercului. Uneori este util să se exprime accelerația centripetă în funcție de viteza v. Utilizând v = ωr, se poate scrie