school energy&environment

Numerele naturii: secvența Fibonacci

Secvența Fibonacci a atras întotdeauna atenția oamenilor deoarece, pe lângă faptul că are proprietăți matematice deosebite, alte numere atât de omniprezente precum cele ale lui Fibonacci nu există nicăieri altundeva în matematică: ele apar în geometrie, algebră, teoria numerelor, în multe alte domenii ale matematicii și chiar în natură! Haideți să aflăm împreună despre ce este vorba…

Viața lui Fibonacci
Leonardo Pisano, zis Fibonacci (Fibonacci vine de la filius Bonacii) s-a născut în Pisa în jurul anului 1170. Tatăl său, Guglielmo dei Bonacci, un negustor pisan bogat și reprezentant al negustorilor din Republica din Pisa în zona Bugia in Cabilia (în nord-estul Algeriei de astăzi), după 1192 și-a luat fiul cu el, pentru că dorea ca Leonardo să devină negustor.

L-a pus astfel pe Leonardo să studieze, sub îndrumarea unui profesor musulman, care l-a îndrumat în învățarea tehnicilor de calcul, în special a celor referitoare la numerele indo-arabe, care nu fuseseră încă introduse în Europa. Educația lui Fibonacci a început în Bejaia și a continuat și în Egipt, Siria și Grecia, locuri pe care le-a vizitat împreună cu tatăl său de-a lungul rutelor comerciale, înainte de a se întoarce definitiv la Pisa începând din jurul anului 1200. În următorii 25 de ani, Fibonacci s-a dedicat scrierii de manuscrise matematice: dintre acestea, Liber Abaci (1202), datorită căruia Europa a luat cunoștință de numerele indo-arabe, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) și Liber Quadratorum (1225) ne sunt cunoscute astăzi.
Reputația lui Leonardo ca matematician a devenit atât de mare încât împăratul Federico al II-lea a cerut o audiență în timp ce se afla la Pisa în 1225. După 1228, nu se cunosc prea multe despre viața lui Leonardo, cu excepția faptului că i s-a acordat titlul de „Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo”, ca recunoaștere a marilor progrese pe care le-a făcut în domeniul matematicii. Fibonacci a murit undeva după 1240, probabil în Pisa.

Liber Abaci de Fibonacci și celebra secvență
Liber Abaci, pe lângă faptul că se referă la numerele indo-arabe, care ulterior au luat locul cifrelor romane, includea și o colecție mare de probleme adresate negustorilor, referitoare la prețurile produselor, calculul profitului comercial, conversia monedei în diferitele monede folosite în statele mediteraneene, precum și alte probleme de origine chineză. Alături de aceste probleme comerciale se aflau altele, mult mai cunoscute, care au avut de asemenea o mare influență asupra autorilor de mai târziu. Dintre acestea, cea mai cunoscută, sursă de inspirație pentru mulți matematicieni din secolele ulterioare, este următoarea: „Câte perechi de iepuri se vor naște într-un an, pornind de la o singură pereche, dacă în fiecare lună fiecare pereche dă naștere unei noi perechi care devine reproducătoare începând cu luna a doua?”. Soluția la această problemă este celebra „secvență Fibonacci”: 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 8, 8, 13, 21,34,55,89… o secvență de numere în care fiecare membru este suma celor două anterioare.

O caracteristică importantă a secvenței este faptul că raportul dintre orice număr și cel precedent din serie tinde spre o valoare bine definită: 1,618… Acesta este raportul de aur sau secțiunea de aur, φ (Phi), care apare frecvent în natură (pentru a ști mai multe despre: Perfecțiunea melcului).
Când Fibonacci a ilustrat această secvență, ca soluție la o problemă de „matematică recreativă”, el nu i-a acordat o importanță deosebită. Abia în 1877, matematicianul Édouard Lucas a publicat o serie de studii importante despre această secvență, pe care pretinde că a găsit-o în Liber Abaci și pe care, în onoarea autorului, a numit-o „secvența Fibonacci”. Ulterior, studiile s-au înmulțit și au fost descoperite numeroase și neașteptate proprietăți ale acestei secvențe, atât de mult încât, din 1963, a apărut o revistă dedicată exclusiv acesteia, „The Fibonacci quarterly”.

Succesiunea Fibonacci în natură
Observând geometria plantelor, a florilor sau a fructelor, este ușor de recunoscut prezența unor structuri și forme recurente. Secvența Fibonacci, de exemplu, joacă un rol vital în filotaxie, care studiază dispunerea frunzelor, a ramurilor, a florilor sau a semințelor la plante, cu scopul principal de a evidenția existența unor modele regulate. Diferitele aranjamente ale elementelor naturale urmează regularități matematice surprinzătoare: D’arcy Thompson a observat că regnul vegetal are o preferință curioasă pentru anumite numere și pentru anumite geometrii spiralate și că aceste numere și geometrii sunt strâns legate între ele.
Putem găsi cu ușurință numerele secvenței Fibonacci în spiralele formate de florile individuale din inflorescențele compozite ale margaretelor, florii-soarelui, conopidei și broccoli.

Kepler a fost cel care a observat că pe multe tipuri de copaci frunzele sunt aliniate după un model care include două numere Fibonacci. Pornind de la orice frunză, după una, două, trei sau cinci rotații ale spiralei, există întotdeauna o frunză aliniată cu prima și, în funcție de specie, aceasta va fi a doua, a treia, a cincea, a opta sau a treisprezecea frunză.

Un alt exemplu simplu în care este posibil să se regăsească secvența Fibonacci în natură este dat de numărul de petale ale florilor. Cele mai multe au trei (cum ar fi crinii și irișii), cinci (parnasia, măceșele) sau opt (cosma), 13 (unele margarete), 21 (cicoarea), 34, 55 sau 89 (asteracee). Aceste numere fac parte din celebra secvență Fibonacci descrisă în paragraful anterior.

De Benedetta Palazzo