Cirkelrörelse

Föreställ dig en partikel som rör sig längs cirkelns omkrets med en jämn hastighet, så att den gör ett helt varv per timme. För att beskriva rörelsen matematiskt konstrueras en vektor från cirkelns centrum till partikeln. Vektorn gör sedan ett fullständigt varv varje timme. Med andra ord beter sig vektorn precis som den stora visaren på ett armbandsur, en pil av fast längd som gör ett fullständigt varv varje timme. Rörelsen av vektorns punkt är ett exempel på enhetlig cirkelrörelse, och rörelsens period T är lika med en timme (T = 1 h). Pilen sveper ut en vinkel på 2π radianer (en fullständig cirkel) per timme. Denna hastighet kallas vinkelfrekvens och skrivs ω = 2π h-1. Helt allmänt, för en jämn cirkelrörelse med vilken hastighet som helst,

Dessa definitioner och relationer är desamma som de är för harmonisk rörelse, som diskuterats ovan.

Det finns ett koordinatsystem, som visas i figur 8A, med cirkeln centrerad vid origo. Vid varje tidpunkt kan partikelns position anges genom att ange cirkelns radie r och vinkeln θ mellan positionsvektorn och x-axeln. Även om r är konstant ökar θ jämnt med tiden t, så att θ = ωt, eller dθ/dt = ω, där ω är vinkelfrekvensen i ekvation (26). I motsats till fallet med armbandsuret är dock ω enligt konventionen positiv när rotationen sker moturs. Vektorn r har x- och y-komponenter som ges av

En innebörd av ekvationerna (27) och (28) är att när en partikel genomgår en jämn cirkelrörelse genomgår dess x- och y-komponenter vardera enkel harmonisk rörelse. De är dock inte i fas med varandra: i det ögonblick då x har sin maximala amplitud (till exempel vid θ = 0) har y en amplitud på noll och vice versa.

Under en kort tid, Δt, förflyttar sig partikeln rΔθ längs cirkelns omkrets, vilket visas i figur 8B. Partikelns medelhastighet är således given av

Partikelns medelhastighet är en vektor given av

Denna operation av vektorsubtraktion är angiven i figur 8B. Den ger en vektor som är nästan vinkelrät mot r(t) och r(t + Δt). Den momentana hastigheten, som man finner genom att låta Δt krympa till noll, är i själva verket en vektor v som är vinkelrät mot r i varje ögonblick och vars magnitud är

Sambandet mellan r och v visas i figur 8C. Det innebär att partikelns momentana hastighet alltid tangerar cirkeln.

Bemärk att precis som positionsvektorn r kan beskrivas med hjälp av komponenterna x och y som ges av ekvationerna (27) och (28), kan hastighetsvektorn v beskrivas med hjälp av dess projektioner på x- och y-axlarna, som ges av

Föreställ dig ett nytt koordinatsystem, där en vektor med längden ωr sträcker sig från ursprunget och pekar hela tiden i samma riktning som v. Denna konstruktion visas i figur 8D. Varje gång partikeln sveper ut en hel cirkel sveper denna vektor också ut en hel cirkel. I själva verket utför dess punkt en jämn cirkelrörelse med samma vinkelfrekvens som partikeln själv. Eftersom vektorer har storlek och riktning, men inte position i rummet, är den vektor som har konstruerats hastigheten v. Partikelns hastighet genomgår själv en jämn cirkelrörelse med vinkelfrekvensen ω.

Trots att partikelns hastighet är konstant accelereras partikeln ändå, eftersom dess hastighet ständigt ändrar riktning. Accelerationen a ges av

Då v är en vektor med längden rω som genomgår en jämn cirkelrörelse kan ekvationerna (29) och (30) upprepas, vilket illustreras i figur 8E, vilket ger

Sålunda, kan man dra slutsatsen att den momentana accelerationen alltid är vinkelrät mot v och dess storlek är

Då v är vinkelrätt mot r, och a är vinkelrätt mot v, är vektorn a roterad 180° i förhållande till r. Med andra ord är accelerationen parallell med r men i motsatt riktning. Samma slutsats kan nås genom att inse att a har x- och y-komponenter som ges av

liknande ekvationer (32) och (33). När ekvationerna (38) och (39) jämförs med ekvationerna (27) och (28) för x och y är det tydligt att komponenterna till a bara är komponenterna till r multiplicerade med -ω2, så att a = -ω2r. Denna acceleration kallas centripetalacceleration, vilket innebär att den är inåtriktad och pekar längs radievektorn mot cirkelns centrum. Det är ibland användbart att uttrycka den centripetala accelerationen i termer av hastigheten v. Med hjälp av v = ωr, kan man skriva