Vad händer när du sätter en induktor och en kondensator i en krets? Något ganska häftigt – och faktiskt viktigt.
Vad är en induktor?
Du kan tillverka alla möjliga olika typer av induktorer, men den vanligaste typen är en cylindrisk trådspole – en solenoid.
När strömmen löper genom den första slingan skapar den ett magnetfält som går genom de andra slingorna. Magnetfält gör egentligen ingenting om inte magnituden ändras. Ett förändrat magnetfält kommer att skapa ett elektriskt fält i de andra slingorna. Riktningen på detta elektriska fält kommer att göra en förändring i den elektriska potentialen som fungerar som ett batteri.
I slutändan har vi en anordning som har en potentialskillnad som är proportionell mot tidens förändringshastighet för strömmen (eftersom strömmen skapar magnetfältet). Detta kan skrivas som:
Det finns två saker att påpeka i denna ekvation. För det första är L induktansen. Den beror endast på solenoidens geometri (eller vilken form du än har) och dess värde mäts i Henrys. För det andra finns det negativa tecknet. Det betyder att förändringen av potentialen över induktorn motsätter sig förändringen av strömmen.
Hur beter sig en induktor i en krets? Om du har en konstant ström finns det ingen förändring (likström) och därmed ingen potentialskillnad över induktorn – den beter sig som om den inte ens fanns där. Om det finns en högfrekvent ström (växelströmskrets) så blir det en stor potentialskillnad över induktorn.
Vad är en kondensator?
Även här finns det många olika konfigurationer för en kondensator. Den enklaste formen använder två parallella ledande plattor med elektrisk laddning på varje platta (men en nettoladdning på noll).
Den elektriska laddningen på dessa plattor skapar ett elektriskt fält inuti kondensatorn. Eftersom det finns ett elektriskt fält måste det också ske en förändring av den elektriska potentialen över plattorna. Värdet på denna potentialskillnad beror på mängden laddning. Potentialdifferensen över kondensatorn kan skrivas som:
Här är C värdet av kapacitansen i enheter av farads—-det beror också bara på enhetens fysiska konfiguration.
Om det finns en ström som går in i kondensatorn kommer värdet av laddningen på plattorna att ändras. Om det finns en konstant (eller lågfrekvent) ström kommer denna ström att fortsätta att lägga till laddning till plattorna för att öka den elektriska potentialen så att denna potential med tiden så småningom kommer att fungera som en öppen krets med kondensatorspänningen lika med batterispänningen (eller strömförsörjningen). Om du har en högfrekvent ström kommer laddningen både att läggas till och tas bort från plattorna i kondensatorn utan att någon laddning byggs upp och kondensatorn kommer att agera som om den inte ens fanns där.
Vad händer när du kopplar ihop en kondensator och en induktor?
Antag att vi börjar med en laddad kondensator och kopplar ihop den med en induktor (inget motstånd i kretsen eftersom jag använder perfekta fysikaliska trådar). Tänk på ögonblicket precis när dessa två kopplas samman. Anta att det finns en strömbrytare, då kan jag rita följande diagram:
Här är vad som händer. Först finns det ingen ström (eftersom brytaren är öppen). När strömbrytaren är stängd kan det finnas en ström och utan motstånd skulle denna ström hoppa upp till oändligheten. Denna stora ökning av strömmen innebär dock att det kommer att produceras en förändring av den elektriska potentialen över induktorn. Vid någon tidpunkt kommer förändringen av potentialen över induktorn att vara större än den över kondensatorn (eftersom kondensatorn förlorar laddning med strömmen) och då kommer strömmen att vända riktning och ladda kondensatorn igen. Processen upprepar sig själv – i all evighet eftersom det inte finns något motstånd.
Modellering av en LC-krets.
Det kallas en LC-krets eftersom den har en induktor (L) och en kondensator (C)—Jag antar att det är uppenbart. Förändringen av den elektriska potentialen runt hela kretsen måste vara noll (eftersom det är en slinga) så att jag kan skriva:
Både Q och I förändras med tiden. Det finns ett samband mellan Q och I på så sätt att strömmen är den tidsförändringstakt som laddningen lämnar kondensatorn.
Nu har jag en differentialekvation av andra ordningen för laddningsvariabeln. Detta är inte en så svår ekvation att lösa – i själva verket kan jag bara gissa mig fram till en lösning.
Detta är i stort sett samma sak som lösningen för en massa på en fjäder (förutom att det i det fallet är positionen som ändras, inte laddningen). Men vänta! Vi behöver inte gissa oss fram till en lösning, du kan också lösa det här problemet med en numerisk beräkning. Låt mig börja med följande värden:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (det här värdet får du från startpotentialen och kapacitansen)
För att kunna lösa detta numeriskt kommer jag att dela upp problemet i små tidssteg. Under varje tidssteg kommer jag att:
- Använda differentialekvationen ovan för att beräkna laddningens andra tidsderivat (jag kallar detta ddQ).
- När jag nu vet ddQ kan jag använda det lilla tidssteget för att beräkna laddningens derivat (dQ).
- Använd värdet av dQ för att hitta det nya värdet av Q.
- Öka tiden och fortsätt tills jag blir uttråkad.
Här är den här beräkningen i python (klicka på uppspelningsknappen för att köra den).
Jag tycker att det är ganska coolt. Ännu bättre är att du kan mäta svängningsperioden för den här kretsen (använd musen för att hovera och hitta värden för tid) och sedan jämföra den med den förväntade vinkelfrekvensen med hjälp av:
Självklart kan du ändra en del saker i det här programmet och se vad som händer – varsågod, du kommer inte att bryta sönder något permanent.
Inklusive motstånd—LRC-kretsen
Den ovanstående modellen var inte realistisk. Verkliga kretsar (särskilt de långa trådarna i en induktor) har motstånd. Om jag vill inkludera det motståndet i min modell skulle kretsen se ut så här:
Detta kommer att ändra spänningsloopekvationen. Nu kommer det också att finnas en term för potentialfallet över motståndet.
Jag kan återigen använda sambandet mellan laddning och ström för att få fram följande differentialekvation:
Med tillägget av motståndet blir detta en mycket svårare ekvation och vi kan inte bara ”gissa” oss till en lösning. Det borde dock inte vara alltför svårt att ändra vår numeriska beräkning ovan för att lösa detta problem. Egentligen är det enda som ändras linjen där laddningens andra derivata beräknas. Jag har lagt till en term där för att ta hänsyn till motståndet (men inte första ordningen). Med ett motstånd på 3 ohm får jag följande (tryck återigen på play för att köra det).
Här är några saker du kan prova:
- Ändra värdet på motståndet. Om värdet är för högt dör strömmen innan du ens får en svängning.
- Vad händer om du vill plotta strömmen istället för spänningen över kondensatorn? Se om du kan göra det.
- Vad sägs om en plott av spänningen över motståndet?
Ja, du kan också ändra värdena för C och L, men var försiktig. Om de är för låga blir frekvensen mycket hög och du måste ändra storleken på tidssteget till något mindre.
Egna LRC-kretsar
När man gör en modell (antingen analytiskt eller numeriskt) vet man ibland inte riktigt om den är legitim eller helt falsk. Ett sätt att testa din modell är att göra en jämförelse med verkliga data. Låt oss göra det. Här är min uppställning.
Så här fungerar det. Först använder jag de tre D-cellsbatterierna för att ladda kondensatorn. Jag kan se när den är nästan fulladdad genom att titta på värdet av spänningen över kondensatorn. Därefter kopplar jag bort batterierna och stänger sedan strömbrytaren så att kondensatorn urladdas genom induktorn. Motståndet är bara en del av ledningarna – jag har inget separat motstånd.
Jag provade flera olika kombinationer av kondensatorer och induktorer och fick till slut något som fungerade. I det här fallet använde jag en kondensator på 5 μF och en gammal skitdålig transformator för min induktor (visas inte ovan). Jag var inte säker på induktansvärdet, så jag uppskattade bara vinkelfrekvensen och använde mitt kända värde för kapacitansen för att lösa en induktans på 13,6 Henrys. När det gäller motståndet försökte jag mäta detta värde med en ohmsk mätare, men att använda ett värde på 715 ohm i min modell verkade fungera bäst.
Här är en plott från både min numeriska modell och spänningen som uppmättes i den faktiska kretsen (jag använde en Vernier-differentialspänningssond för att få fram spänningen som en funktion av tiden).
Det är inte en perfekt passform – men det är tillräckligt nära för mig. Det är klart att jag skulle kunna leka lite med parametrarna för att få en bättre passform, men jag tycker att detta visar att min modell inte är tokig.
Varför använda en LRC-krets?
Den viktigaste egenskapen hos den här LRC-kretsen är att den har en viss egenfrekvens som beror på värdena för L och C. Antag att jag gör något lite annorlunda. Vad händer om jag ansluter en oscillerande spänningskälla till denna LRC-krets? I det fallet beror den maximala strömmen i kretsen på frekvensen hos den oscillerande spänningskällan. När spänningskällan har samma frekvens som LC-kretsen får man den största strömmen.
Här kan du använda den här idén:
Röret med aluminiumfolien är en kondensator och röret med den lindade tråden är en induktor. Tillsammans (med en diod och en hörlur) bildar dessa en kristallradio. Ja, jag satte ihop den här med några enkla förnödenheter (jag följde instruktionerna i den här YouTube-videon). Den grundläggande idén är att justera värdena på både kondensatorn och induktorn för att ”stämma av” till en viss radiostation. Jag lyckades inte riktigt få det att fungera – jag tror att det helt enkelt inte finns några bra AM-radiostationer i närheten (eller så kanske min induktor var dålig). Jag hittade dock denna gamla kristallradiosats som fungerade lite bättre.
Jag hittade en station som jag knappt kunde höra, så jag tror att det finns en chans att min hemmagjorda radio helt enkelt inte var tillräckligt bra för att fånga upp en station. Men hur exakt fungerar den här RLC-resonanskretsen och hur får man fram en ljudsignal från den? Jag kanske sparar det till ett senare inlägg.
