Naturens tal: Fibonacci-sekvensen
Fibonacci-sekvensen har alltid väckt människors uppmärksamhet, eftersom den inte bara har speciella matematiska egenskaper, utan också har andra tal som är så allestädes närvarande som Fibonacci-talen och som inte existerar någon annanstans i matematiken: de förekommer i geometri, algebra, talteori, på många andra områden inom matematiken och även i naturen! Låt oss tillsammans ta reda på vad det är …
Fibonaccis liv
Leonardo Pisano, kallad Fibonacci (Fibonacci står för filius Bonacii) föddes i Pisa omkring 1170. Hans far, Guglielmo dei Bonacci, en rik pisansk köpman och representant för Pisa-republikens köpmän i området Bugia i Cabilia (i dagens nordöstra Algeriet), tog efter 1192 med sig sin son, eftersom han ville att Leonardo skulle bli köpman.
Källa: Han fick alltså Leonardo att studera under ledning av en muslimsk lärare, som guidade honom i att lära sig beräkningstekniker, särskilt de som rörde indoarabiska tal, som ännu inte hade introducerats i Europa. Fibonaccis utbildning började i Bejaia och fortsatte även i Egypten, Syrien och Grekland, platser som han besökte med sin far längs handelsvägarna, innan han återvände permanent till Pisa från och med omkring 1200. Under de följande 25 åren ägnade sig Fibonacci åt att skriva matematiska manuskript: av dessa är Liber Abaci (1202), tack vare vilken Europa fick kännedom om indoarabiska tal, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) och Liber Quadratorum (1225) i dag kända för oss.
Leonardos rykte som matematiker blev så stort att kejsar Federico II bad om audiens när han befann sig i Pisa år 1225. Efter 1228 är inte mycket känt om Leonardos liv, förutom att han tilldelades titeln ”Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” som ett erkännande av de stora framsteg han gjorde inom matematiken. Fibonacci dog någon gång efter 1240, förmodligen i Pisa.
Fibonaccis kaniner och den berömda sekvensen
Liber Abaci innehöll förutom hänvisningar till indoarabiska tal, som senare ersatte de romerska siffrorna, även en stor samling problem riktade till köpmän, som rörde varupriser, beräkning av affärsvinst, valutaomräkning till de olika mynten som användes i Medelhavsländerna, samt andra problem av kinesiskt ursprung. Vid sidan av dessa handelsproblem fanns andra, mycket mer kända, som också hade ett stort inflytande på senare författare. Bland dem är det mest kända, en inspirationskälla för många matematiker under senare århundraden, följande: ”Hur många par kaniner kommer att födas under ett år, med utgångspunkt från ett enda par, om varje par varje månad föder ett nytt par som blir reproduktivt från och med den andra månaden?”. Lösningen på detta problem är den berömda ”Fibonacci-sekvensen”: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… en talföljd där varje medlem är summan av de två föregående.
Källa: Källa: Den här lösningen är en lösning på problemet: Detta är det gyllene snittet eller det gyllene snittet, φ (Phi), som ofta förekommer i naturen (för att veta mer om det: Snigelns perfektion).
När Fibonacci illustrerade denna sekvens, som en lösning på ett problem inom ”fritidsmatematiken”, gav han den inte någon särskild betydelse. Först 1877 publicerade matematikern Édouard Lucas ett antal viktiga studier om denna sekvens, som han påstod sig ha funnit i Liber Abaci och som han, för att hedra författaren, kallade ”Fibonacci-sekvensen”. Studierna mångdubblades därefter och många och oväntade egenskaper hos denna sekvens upptäcktes, så till den grad att det sedan 1963 ges ut en tidskrift som enbart ägnas åt den, ”The Fibonacci quarterly”.
Fibonacci-sekvensen i naturen
Obser man geometrin hos växter, blommor eller frukter är det lätt att känna igen förekomsten av återkommande strukturer och former. Fibonacci-sekvensen spelar till exempel en viktig roll i phyllotaxis, som studerar arrangemanget av blad, grenar, blommor eller frön i växter, med huvudsyftet att belysa förekomsten av regelbundna mönster. De olika arrangemangen av naturliga element följer överraskande matematiska regelbundenheter: D’arcy Thompson observerade att växtriket har en märklig förkärlek för vissa tal och vissa spiralformade geometrier, och att dessa tal och geometrier är nära besläktade.
Vi kan lätt hitta siffrorna i Fibonacci-sekvensen i de spiraler som bildas av enskilda blommor i de sammansatta blomställningar av prästkragar, solrosor, blomkål och broccoli.
I solrosen är de enskilda blommorna arrangerade längs böjda linjer som roterar med och moturs. Credits: Det var Kepler som noterade att på många typer av träd är bladen placerade i ett mönster som innehåller två Fibonacci-tal. Om man utgår från ett löv, finns det efter ett, två, tre eller fem varv i spiralen alltid ett löv som ligger i linje med det första, och beroende på art kommer detta att vara det andra, tredje, femte, åttonde eller trettonde lövet.
Arrangemang av löv på en stam. Credits: Fibonacci-sekvensen i phyllotaxis – Laura Resta (Examensarbete i biomatematik)
Ett annat enkelt exempel där det är möjligt att hitta Fibonacci-sekvensen i naturen är antalet kronblad på blommor. De flesta har tre (som liljor och irisar), fem (parnassia, nypon) eller åtta (cosmea), 13 (vissa prästkragar), 21 (cikoria), 34, 55 eller 89 (asteraceae). Dessa nummer ingår i den berömda Fibonacci-sekvensen som beskrivs i föregående stycke.
Iris, 3 kronblad; parnassia, 5 kronblad; cosmea, 8 kronblad
av Benedetta Palazzo
