Elektronická pásová struktura

kde funkce u n ( r ) {\displaystyle u_{n}(\mathbf {r} )}

je periodická nad krystalovou mřížkou, tj. u n ( r ) = u n ( r – R ) {\displaystyle u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r-R} )} }.

.

Zde index n označuje n-tý energetický pás, vlnový vektor k souvisí se směrem pohybu elektronu, r je poloha v krystalu a R je umístění atomového místa.

Model NFE funguje zvláště dobře v materiálech, jako jsou kovy, kde jsou vzdálenosti mezi sousedními atomy malé. V takových materiálech je překrytí atomových orbitalů a potenciálů na sousedních atomech relativně velké. V takovém případě lze vlnovou funkci elektronu aproximovat (modifikovanou) rovinnou vlnou. Pásová struktura kovu, jako je hliník, se dokonce blíží aproximaci prázdné mřížky.

Těsný vazebný modelUpravit

Opačný extrém k aproximaci téměř volných elektronů předpokládá, že elektrony v krystalu se chovají podobně jako sestava složených atomů. Tento model těsné vazby předpokládá řešení časově nezávislé Schrödingerovy rovnice pro jeden elektron Ψ {\displaystyle \Psi }.

je dobře aproximováno lineární kombinací atomových orbitalů ψ n ( r ) {\displaystyle \psi _{n}(\mathbf {r} )} }.

. Ψ ( r ) = ∑ n , R b n , R ψ n ( r – R ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r-R} )}

,

kde koeficienty b n , R {\displayystyle b_{n,\mathbf {R}} }}

jsou vybrány tak, aby poskytovaly nejlepší přibližné řešení tohoto tvaru. Index n označuje atomovou energetickou hladinu a R označuje atomové místo. Přesnější přístup využívající tuto myšlenku využívá Wannierovy funkce definované vztahem: a n ( r – R ) = V C ( 2 π ) 3 ∫ BZ d k e – i k ⋅ ( R – r ) u n k {\displaystyle a_{n}(\mathbf {r-R} )={\frac {V_{C}}{(2\pi )^{3}}}}}int \limits _{\text{BZ}}d\mathbf {k} e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R-r} )}u_{n\mathbf {k} }}

;

v němž u n k {\displaystyle u_{n\mathbf {k} }}

je periodická část Blochovy věty a integrál je nad Brillouinovou zónou. Index n zde označuje n-tý energetický pás v krystalu. Wannierovy funkce jsou lokalizovány v blízkosti atomových míst, podobně jako atomové orbitaly, ale protože jsou definovány v termínech Blochových funkcí, jsou přesně vztaženy k řešením založeným na krystalovém potenciálu. Wannierovy funkce na různých atomových místech R jsou ortogonální. Wannierovy funkce lze použít k vytvoření Schrödingerova řešení pro n-tý energetický pás jako: Ψ n , k ( r ) = ∑ R e – i k ⋅ ( R – r ) a n ( r – R ) {\displaystyle \Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R-r} )}a_{n}(\mathbf {r-R} )}

.

Model TB funguje dobře v materiálech s omezeným překryvem atomových orbitalů a potenciálů na sousedních atomech. Pásmové struktury materiálů, jako jsou například Si, GaAs, SiO2 a diamant, jsou dobře popsány TB-Hamiltoniány na základě atomových sp3 orbitalů. U přechodných kovů se k popisu širokého vodivostního pásu NFE a úzkých vložených pásů TB d používá smíšený model TB-NFE. Radiální funkce atomových orbitálních částí Wannierových funkcí se nejsnáze počítají pomocí pseudopotenciálních metod. Výpočty struktury pásů NFE, TB nebo kombinované NFE-TB, někdy rozšířené o aproximace vlnových funkcí založené na pseudopotenciálních metodách, se často používají jako ekonomické východisko pro další výpočty.

KKR modelEdit