koulu energia&ympäristö

Luonnon luvut: Fibonaccin lukujono

Fibonaccin lukujono on aina herättänyt ihmisten huomion, sillä sen lisäksi, että sillä on erityisiä matemaattisia ominaisuuksia, muita lukuja, jotka ovat niin yleisiä kuin Fibonaccin lukujono, ei ole missään muuallakaan matematiikassa: ne esiintyvät geometriassa, algebrassa, lukuteoriassa, monilla muillakin matemaattisen tutkimuksen osa-alueilla, ja ne esiintyvät jopa luonnossa! Selvitetään yhdessä, mistä on kyse …

Fibonaccin elämä
Leonardo Pisano, jota kutsuttiin Fibonacciksi (Fibonacci tulee sanoista filius Bonacii), syntyi Pisassa noin vuonna 1170. Hänen isänsä Guglielmo dei Bonacci, varakas pisalainen kauppias ja Pisan tasavallan kauppiaiden edustaja Bugian alueella Cabiliassa (nykyisessä Koillis-Algeriassa), otti vuoden 1192 jälkeen poikansa mukaansa, koska halusi Leonardon ryhtyvän kauppiaaksi.

Näin hän sai Leonardon opiskelemaan muslimiopettajan johdolla, joka opasti Leonardoa oppimaan laskutekniikoita, erityisesti indoarabiankielisiä lukuja koskevia, joita ei ollut vielä otettu käyttöön Euroopassa. Fibonaccin koulutus alkoi Bejaiassa ja jatkui myös Egyptissä, Syyriassa ja Kreikassa, paikoissa, joissa hän vieraili isänsä kanssa kauppareittien varrella, ennen kuin hän palasi pysyvästi Pisaan noin vuodesta 1200 alkaen. Seuraavat 25 vuotta Fibonacci omistautui matemaattisten käsikirjoitusten kirjoittamiselle: näistä Liber Abaci (1202), jonka ansiosta Eurooppa tuli tietoiseksi indoarabialaisista luvuista, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) ja Liber Quadratorum (1225) ovat nykyään tuttuja.
Leonardon maine matemaatikkona nousi niin suureksi, että keisari Federico II pyysi audienssia vieraillessaan Pisassa vuonna 1225. Vuoden 1228 jälkeen Leonardon elämästä ei tiedetä paljoakaan, paitsi että hänelle myönnettiin arvonimi ”Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” tunnustuksena suuresta edistyksestä matematiikassa. Fibonacci kuoli joskus vuoden 1240 jälkeen, oletettavasti Pisassa.

Fibonaccin jänikset ja kuuluisa sarja
Liber Abaci sisälsi sen lisäksi, että se viittasi indoarabialaisiin numeroihin, jotka sittemmin ottivat roomalaisten numeroiden paikan, myös laajan kokoelman kauppiaille suunnattuja ongelmia, jotka koskivat tuotteiden hintoja, liikevoiton laskemista, valuutan muuntamista Välimeren alueen maissa käytössä olleiksi erilaisiksi kolikoiksi sekä muita kiinalaista alkuperää olevia ongelmia. Näiden kaupallisten ongelmien ohella oli muitakin, paljon tunnetumpia ongelmia, joilla oli suuri vaikutus myöhempiin kirjoittajiin. Niistä kuuluisin, monien myöhempien vuosisatojen matemaatikkojen inspiraation lähde, on seuraava: ”Kuinka monta paria kaneja syntyy vuodessa yhdestä parista alkaen, jos joka kuukausi jokainen pari synnyttää uuden parin, joka tulee lisääntymiskykyiseksi toisesta kuukaudesta alkaen?”. Ratkaisu tähän ongelmaan on kuuluisa ”Fibonaccin sarja”: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… lukujono, jonka jokainen jäsen on kahden edellisen summa.

Sarjan tärkeä ominaisuus on se, että minkä tahansa luvun ja sarjan edellisen luvun suhde pyrkii kohti hyvin määriteltyä arvoa: 1,618… Tämä on kultainen leikkaus tai kultainen leikkaus, φ (Phi), joka esiintyy usein luonnossa (tietääksesi lisää: Etanan täydellisyys).
Kun Fibonacci havainnollisti tämän sarjan ratkaisuna erääseen ”vapaa-ajan matematiikkaan” liittyvään ongelmaan, hän ei antanut sille erityistä merkitystä. Vasta vuonna 1877 matemaatikko Édouard Lucas julkaisi useita tärkeitä tutkimuksia tästä jaksosta, jonka hän väitti löytäneensä Liber Abaci -kirjasta ja jota hän kutsui kirjailijan kunniaksi ”Fibonaccin jaksoksi”. Sittemmin tutkimukset moninkertaistuivat, ja tämän jakson lukuisia ja odottamattomia ominaisuuksia löydettiin niin paljon, että vuodesta 1963 lähtien on julkaistu yksinomaan sille omistettua lehteä ”The Fibonacci quarterly”.

Fibonaccin jakso luonnossa
Kasvien, kukkien tai hedelmien geometriaa tarkkailemalla on helppo havaita toistuvien rakenteiden ja muotojen olemassaolo. Fibonacci-sekvenssillä on tärkeä rooli esimerkiksi fyllotaksiassa, jossa tutkitaan lehtien, oksien, kukkien tai siementen sijoittelua kasveissa ja jonka päätavoitteena on korostaa säännöllisten kuvioiden olemassaoloa. Luonnon elementtien erilaiset järjestelyt noudattavat yllättäviä matemaattisia säännönmukaisuuksia: D’arcy Thompson havaitsi, että kasveilla on omituinen mieltymys tiettyihin lukuihin ja tiettyihin spiraaligeometrioihin ja että nämä luvut ja geometriat liittyvät läheisesti toisiinsa.
Löydämme helposti Fibonacci-sarjan luvut yksittäisten kukkien muodostamista spiraaleista päivänkakkaran, auringonkukan, kukkakaalin ja parsakaalin yhdistetyissä kukinnoissa.

Kepler oli se, joka huomasi, että monilla puulajeilla lehdet ovat järjestäytyneet kuvioon, joka sisältää kaksi Fibonaccin lukua. Kun mistä tahansa lehdestä lähdetään liikkeelle, yhden, kahden, kolmen tai viiden kierroksen kierroksen jälkeen on aina lehti, joka on samassa linjassa ensimmäisen lehden kanssa, ja lajista riippuen tämä on toinen, kolmas, viides, kahdeksas tai kolmastoista lehti.

Toinen yksinkertainen esimerkki, jossa on mahdollista löytää Fibonacci-jakso luonnossa, on annettu kukkien terälehtien lukumäärästä. Useimmilla on kolme (kuten liljoilla ja iiriksillä), viisi (parnassia, ruusunmarjat) tai kahdeksan (cosmea), 13 (jotkut päivänkakkarat), 21 (sikuri), 34, 55 tai 89 (asteraceae). Nämä luvut ovat osa edellisessä kappaleessa kuvattua kuuluisaa Fibonacci-sarjaa.

Kirjoittanut Benedetta Palazzo