Mitä tapahtuu, kun kytket induktorin ja kondensaattorin piiriin? Jotain aika siistiä–ja oikeastaan tärkeää.
Mikä on induktori?
Voit tehdä kaikenlaisia erilaisia induktoreita, mutta yleisin tyyppi on sylinterinmuotoinen lankakela–solenoidi.
Kun virta kulkee ensimmäisen silmukan läpi, se synnyttää magneettikentän, joka kulkee muiden silmukoiden läpi. Magneettikentät eivät oikeastaan tee mitään, ellei niiden voimakkuus muutu. Muuttuva magneettikenttä luo sähkökentän muihin silmukoihin. Tämän sähkökentän suunta saa aikaan sähköpotentiaalin muutoksen, joka toimii kuin paristo.
Loppujen lopuksi meillä on laite, jonka potentiaaliero on verrannollinen virran ajalliseen muutosnopeuteen (koska virta aiheuttaa magneettikentän). Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Tässä yhtälössä on kaksi huomautettavaa asiaa. Ensinnäkin L on induktanssi. Se riippuu vain solenoidin geometriasta (tai mistä tahansa muodosta) ja sen arvo mitataan Henryinä. Toiseksi on negatiivinen merkki. Tämä tarkoittaa, että induktorin yli tapahtuva potentiaalin muutos on vastakkainen virran muutokselle.
Miten induktori käyttäytyy piirissä? Jos sinulla on vakiovirta, niin silloin ei tapahdu muutosta (tasavirta) eikä siten myöskään potentiaalieroa induktorin yli – se käyttäytyy kuin sitä ei olisi edes olemassa. Jos on korkeataajuinen virta (vaihtovirtapiiri), niin induktorin yli syntyy suuri potentiaaliero.
Mikä on kondensaattori?
Kondensaattorilla on taas paljon erilaisia kokoonpanoja. Yksinkertaisimmassa muodossa käytetään kahta rinnakkaista johtavaa levyä, joissa kummassakin on sähkövaraus (mutta nettovaraus on nolla).
Levyjen sähkövaraus synnyttää kondensaattorin sisälle sähkökentän. Koska sähkökenttä on olemassa, täytyy myös levyjen yli tapahtua sähköpotentiaalin muutos. Tämän potentiaalieron arvo riippuu varauksen määrästä. Kondensaattorin poikki kulkeva potentiaaliero voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Tässä C on kapasitanssin arvo faradien yksiköissä – sekin riippuu vain laitteen fysikaalisesta konfiguraatiosta.
Jos kondensaattoriin kulkee sähkövirta, levyjen varauksen arvo muuttuu. Jos kondensaattorissa kulkee vakiovirta (tai matalataajuinen virta), tämä virta jatkaa varauksen lisäämistä levyihin sähköpotentiaalin kasvattamiseksi niin, että ajan mittaan tämä potentiaali toimii lopulta kuin avoin virtapiiri, jossa kondensaattorin jännite on yhtä suuri kuin akun (tai virtalähteen) jännite. Jos sinulla on korkeataajuinen virta, varausta sekä lisätään että otetaan pois kondensaattorin levyiltä ilman varauksen kertymistä ja kondensaattori toimii kuin sitä ei olisi edes olemassa.
Mitä tapahtuu, kun kytket kondensaattorin ja induktorin?
Esitettäkö, että aloitamme ladatulla kondensaattorilla ja kytkemme sen induktoriin (piirissä ei ole vastusta, koska käytän täydellisiä fysiikkajohtoja). Ajattele hetkeä juuri silloin, kun nämä kaksi kytketään. Oletetaan, että on kytkin, niin voin piirtää seuraavat kaaviot.
Tässä tapahtuu. Ensin ei ole virtaa (koska kytkin on auki). Kun kytkin on kiinni, voi olla virta ja ilman vastusta tämä virta hyppäisi äärettömään. Tämä suuri virran kasvu tarkoittaa kuitenkin sitä, että induktorin yli syntyy muutos sähköpotentiaalissa. Jossain vaiheessa induktorin yli tapahtuva potentiaalin muutos on suurempi kuin kondensaattorin yli tapahtuva potentiaalin muutos (koska kondensaattori menettää varausta virran virtauksen myötä), jolloin virta kääntää suuntaa ja lataa kondensaattorin takaisin. Prosessi toistuu — ikuisesti, koska vastusta ei ole.
LC-piirin mallintaminen.
Se on nimeltään LC-piiri, koska siinä on induktori (L) ja kondensaattori (C)—se lienee itsestään selvää. Sähköpotentiaalin muutoksen koko piirin ympärillä on oltava nolla (koska se on silmukka), joten voin kirjoittaa:
Kumpikin Q ja I muuttuvat ajan myötä. Q:n ja I:n välillä on yhteys siten, että virta on ajan muutosnopeus, jolla varaus poistuu kondensaattorista.
Nyt minulla on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö varausmuuttujalle. Tämä ei ole kovin vaikea yhtälö ratkaistavaksi — itse asiassa voin vain arvailla ratkaisua.
Tämä on aika lailla sama kuin ratkaisu jousen varassa olevalle massalle (paitsi että siinä tapauksessa muuttuu asento, ei varaus). Mutta hetkinen! Meidän ei tarvitse arvailla ratkaisua, vaan voit ratkaista tämän ongelman myös numeerisella laskutoimituksella. Aloitan seuraavilla arvoilla:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (saat tämän arvon lähtöpotentiaalista ja kapasitanssista)
Ratkaisemiseksi numeerisesti hajotan ongelman pieniin aika-askeliin. Jokaisen aika-askeleen aikana aion:
- Käyttää yllä olevaa differentiaaliyhtälöä laskeakseni varauksen toisen aikaderivaatan (kutsun tätä ddQ:ksi).
- Nyt kun tiedän ddQ:n, voin käyttää pientä aika-askelta laskeakseni varauksen derivaatan (dQ).
- Käytä dQ:n arvoa löytääkseni Q:n uuden arvon.
- Lisää aikaa ja jatka, kunnes kyllästyn.
Tässä on tämä laskelma pythonissa (suorita se klikkaamalla play-painiketta).
Se on mielestäni aika siisti. Vielä parempaa on, että voit mitata tämän piirin värähtelyjakson (käytä hiiren liikettä ja etsi arvot ajalle) ja sitten verrata sitä odotettuun kulmataajuuteen käyttämällä:
Voit tietysti muuttaa joitain juttuja tuossa ohjelmassa ja katsoa, mitä tapahtuu – jatka vain, et riko pysyvästi mitään.
Sisältää vastuksen—LRC-virtapiiri
Ylläoleva mallinnus ei ollut realistinen. Todellisissa piireissä (erityisesti induktorin pitkissä johdoissa) on resistanssia. Jos haluan sisällyttää tuon resistanssin malliini, piiri näyttäisi tältä:
Tämä muuttaa jännitesilmukan yhtälöä. Nyt mukaan tulee myös termi potentiaalihäviölle vastuksen yli.
Voin taas käyttää varauksen ja virran välistä yhteyttä saadakseni seuraavan differentiaaliyhtälön:
Vastuksen lisäämisen myötä tästä tulee paljon vaikeampi yhtälö, emmekä voi vain ”arvata” ratkaisua. Ei kuitenkaan pitäisi olla liian vaikeaa muuttaa yllä olevaa numeerista laskelmaamme tämän ongelman ratkaisemiseksi. Oikeastaan ainoa asia, joka muuttuu, on rivi, jolla varauksen toinen derivaatta lasketaan. Olen lisännyt sinne termin, joka ottaa huomioon resistanssin (mutta ei ensimmäisen kertaluvun). Käyttämällä vastusta 3 ohmia, saan seuraavan tuloksen (paina taas play-painiketta suorittaaksesi sen).
Tässä on muutamia asioita, joita voit kokeilla:
- Vaihda vastuksen arvoa. Jos arvo on liian suuri, virta sammuu ennen kuin saat edes värähtelyä aikaan.
- Mitä jos haluat piirtää kondensaattorin yli olevan jännitteen sijasta virran? Katso, onnistuuko se.
- Entäpä vastuksen yli olevan jännitteen piirtäminen?
Kyllä, voit myös muuttaa C:n ja L:n arvoja, mutta ole varovainen. Jos ne ovat liian pieniä, taajuus on hyvin korkea ja sinun on muutettava aika-askeleen kokoa pienemmäksi.
Todelliset LRC-piirit
Kun teet mallin (joko analyyttisesti tai numeerisesti), et toisinaan oikeastaan tiedä, onko se oikeutettu vai täysin valheellinen. Yksi tapa testata malliasi on tehdä vertailu todelliseen dataan. Tehdään näin. Tässä on asetelmani.
Se toimii näin. Ensin käytän kolmea D-kennoista akkua kondensaattorin lataamiseen. Tiedän, milloin se on lähes täyteen ladattu, kun katson kondensaattorin yli olevan jännitteen arvoa. Seuraavaksi irrotan paristot ja suljen kytkimen niin, että kondensaattori purkautuu induktorin kautta. Vastus on vain osa johdoista — minulla ei ole erillistä vastusta.
Kokeilin useita erilaisia kondensaattoreiden ja induktoreiden yhdistelmiä ja lopulta sain jotain toimimaan. Tässä tapauksessa käytin 5 μF:n kondensaattoria ja vanhaa surkean näköistä muuntajaa induktoriksi (ei näy yllä). En ollut varma induktanssin arvosta, joten arvioin vain kulmataajuuden ja käytin tunnettua kapasitanssin arvoa ratkaistakseni 13,6 Henrysin induktanssin. Vastuksen osalta yritin mitata tämän arvon ohmimittarilla, mutta 715 ohmin arvon käyttäminen mallissani näytti toimivan parhaiten.
Tässä on piirros sekä numeerisesta mallistani että todellisessa piirissä mitatusta jännitteestä (käytin Vernierin differentiaalijänniteanturia saadakseni jännitteen ajan funktiona).
Ei se sovi täydellisesti–mutta se on tarpeeksi lähellä minua. Selvästikin voisin leikkiä hieman parametreilla saadakseni paremman sovituksen, mutta mielestäni tämä osoittaa, että mallini ei ole hullu.
Miksi käyttää LRC-piiriä?
Tämän LRC-piirin keskeinen ominaisuus on, että sillä on jokin ominaistaajuus, joka riippuu L:n ja C:n arvoista. Oletetaan, että teen jotain hieman erilaista. Entä jos kytken tähän LRC-piiriin värähtelevän jännitelähteen? Tällöin piirin maksimivirta riippuu värähtelevän jännitelähteen taajuudesta. Kun jännitelähde on samalla taajuudella kuin LC-piiri, saat suurimman virran.
Tässä kohtaa voisit käyttää tätä ideaa:
Putki, jossa on alumiinifolio, on kondensaattori ja putki, jossa on kääritty lanka, on induktori. Yhdessä (diodin ja kuulokkeen kanssa) nämä muodostavat kideradion. Kyllä, kokosin tämän yksinkertaisilla tarvikkeilla (seurasin tämän YouTube-videon ohjeita). Perusajatuksena on säätää sekä kondensaattorin että induktorin arvoja tietyn radioaseman ”virittämiseksi”. En saanut sitä aivan toimimaan – luulen, että täällä ei vain ole hyviä AM-radioasemia (tai ehkä induktorini imi). Löysin kuitenkin tämän vanhan kristalliradiosarjan, joka toimi hieman paremmin.
Löysin yhden aseman, jonka kuulin hädin tuskin, joten luulen, että on mahdollista, että kotitekoinen radioni ei vain ollut tarpeeksi hyvä aseman vastaanottamiseen. Mutta miten tämä RLC-resonanssipiiri tarkalleen ottaen toimii ja miten siitä saa äänisignaalin? Ehkä säästän sen myöhempään viestiin.
