Ympyräliike

Tarkastellaan hiukkasta, joka liikkuu ympyrän kehää pitkin tasaisella nopeudella siten, että se tekee yhden täyden kierroksen tunnissa. Liikkeen kuvaamiseksi matemaattisesti muodostetaan vektori ympyrän keskipisteestä hiukkaseen. Tämän jälkeen vektori tekee tunnin välein yhden täyden kierroksen. Toisin sanoen vektori käyttäytyy täsmälleen samoin kuin rannekellon suuri viisari, joka on kiinteän pituinen nuoli, joka tekee yhden täyden kierroksen joka tunti. Vektorin pisteen liike on esimerkki tasaisesta ympyräliikkeestä, ja liikkeen jakso T on yhtä suuri kuin yksi tunti (T = 1 h). Nuoli kulkee 2π radiaania (yksi täydellinen ympyrä) tunnissa. Tätä nopeutta kutsutaan kulmataajuudeksi ja kirjoitetaan ω = 2π h-1. Aivan yleisesti, tasaiselle ympyräliikkeelle millä tahansa nopeudella,

Nämä määritelmät ja suhteet ovat samat kuin edellä käsitellylle harmoniselle liikkeelle.

Harkitaan kuvan 8A mukaista koordinaatistoa, jossa ympyrä on keskitetty origoon. Millä tahansa ajanhetkellä hiukkasen sijainti voidaan määrittää antamalla ympyrän säde r ja asentovektorin ja x-akselin välinen kulma θ. Vaikka r on vakio, θ kasvaa tasaisesti ajan t myötä siten, että θ = ωt tai dθ/dt = ω, missä ω on kulmataajuus yhtälössä (26). Toisin kuin rannekellon tapauksessa ω on kuitenkin positiivinen, kun pyöriminen tapahtuu vastapäivään. Vektorilla r on x- ja y-komponentit, jotka saadaan

Yhtälöiden (27) ja (28) eräs merkitys on se, että kun hiukkanen käy läpi tasaisen ympyräliikkeen, sen x- ja y-komponentit käyvät kumpikin läpi yksinkertaisen harmonisen liike. Ne eivät kuitenkaan ole keskenään samassa vaiheessa: hetkellä, jolloin x:n amplitudi on suurimmillaan (esimerkiksi θ = 0), y:n amplitudi on nolla ja päinvastoin.

Lyhyessä ajassa Δt hiukkanen liikkuu ympyrän kehää pitkin pitkin rivin rΔθ, kuten kuviossa 8B näkyy. Hiukkasen keskinopeus on siis

Hiukkasen keskinopeus on vektori, joka on

Tämä vektorin vähennysoperaatio on esitetty kuvassa 8B. Sen tuloksena saadaan vektori, joka on lähes kohtisuorassa r(t):n ja r(t + Δt):n kanssa. Hetkellinen nopeus, joka löytyy antamalla Δt:n kutistua nollaan, on nimittäin vektori, joka on joka hetki kohtisuorassa r:ää vastaan ja jonka suuruus on

R:n ja v:n välinen suhde on esitetty kuvassa 8C. Se tarkoittaa, että hiukkasen hetkellinen nopeus on aina ympyrän tangentti.

Huomaa, että aivan kuten sijaintivektori r voidaan kuvata yhtälöiden (27) ja (28) antamien komponenttien x ja y avulla, nopeusvektori v voidaan kuvata sen projektioiden avulla x- ja y-akseleille, jotka saadaan

Kuvitellaan uusi koordinaatisto, jossa origosta lähtee vektori, jonka pituus ωr on ja joka osoittaa aina samaan suuntaan kuin v. Tämä konstruktio on esitetty kuvassa 8D. Aina kun hiukkanen pyyhkäisee täydellisen ympyrän, tämä vektori pyyhkäisee myös täydellisen ympyrän. Itse asiassa sen piste suorittaa tasaista ympyräliikettä samalla kulmataajuudella kuin hiukkanen itse. Koska vektoreilla on suuruus ja suunta, mutta ei sijaintia avaruudessa, konstruoitu vektori on nopeus v. Hiukkasen nopeus suorittaa itse tasaista ympyräliikettä kulmataajuudella ω.

Vaikka hiukkasen nopeus on vakio, hiukkanen kuitenkin kiihtyy, koska sen nopeus muuttaa jatkuvasti suuntaa. Kiihtyvyys a saadaan

Koska v on vektori, jonka pituus rω on tasainen ympyräliike, yhtälöt (29) ja (30) voidaan toistaa, kuten kuvassa 8E on esitetty, jolloin saadaan

Siten, voidaan päätellä, että hetkellinen kiihtyvyys on aina kohtisuorassa v:hen nähden ja sen suuruus on

Koska v on kohtisuorassa r:ään nähden ja a on kohtisuorassa v:hen nähden, vektori a on käännetty 180° r:ään nähden. Toisin sanoen kiihtyvyys on r:n suuntainen, mutta vastakkaiseen suuntaan. Samaan johtopäätökseen päästään toteamalla, että a:lla on x- ja y-komponentit, jotka saadaan

yhtälöiden (32) ja (33) kaltaisina. Kun yhtälöitä (38) ja (39) verrataan x:n ja y:n yhtälöihin (27) ja (28), on selvää, että a:n komponentit ovat vain r:n komponentteja kerrottuna -ω2:lla, joten a = -ω2r. Tätä kiihtyvyyttä kutsutaan sentripetaaliseksi kiihtyvyydeksi, mikä tarkoittaa, että se on sisäänpäin suuntautuva, säteittäistä vektoria pitkin kohti ympyrän keskipistettä. Joskus on hyödyllistä ilmaista keskipakokiihtyvyys nopeuden v avulla. Käytetään v = ωr, voidaan kirjoittaa