Mátrix ábrázolás
A Bézier-formulát tulajdonképpen mátrixszorzással is ábrázolhatjuk, ami más összefüggésekben is hasznos lehet, például a Bézier-görbe felosztásához. Ha visszatérünk a példánkhoz, akkor a következőképpen írhatjuk át a P(t)-t:
És így a kvadratikus Bézier-görbére vonatkozó összes információ egyetlen mátrixba, M-be tömörül. Nos, lehet, hogy ennek a mátrixnak az együtthatóit szeretnénk megtalálni anélkül, hogy mindezeket a lépéseket elvégeznénk, méghozzá úgy, hogy könnyen programozható legyen. Mivel a mátrix együtthatói egyszerűen az egyes Pi előtt álló polinom együtthatói, amit keresünk, az a Bernstein-polinom eq. 2.
Egy másik dolog: ha Bi(t)-t kibővítjük, akkor megkapjuk a Pi előtt álló polinomot, ami a mátrix i(th) oszlopának felel meg. Ez azonban nem igazán kényelmes, és egyszerűbb lenne programozni, ha helyette sorokat kapnánk. Ennek ellenére észrevehetjük, hogy a mátrix i(th) sora pontosan megegyezik a fordított (n-i)(th) oszloppal, és a fordított (n-i)(th) oszlop együtthatói nem mások, mint a B(n-i)(t) együtthatói t csökkenő hatványaiban véve.
Az eq. 2 és eq. 3 pontokra hivatkozhatsz, ha gondjaid vannak.
Ezért a mátrix együtthatói nem mások, mint a t előtti együtthatók, vagyis:
Interpoláció
A Bézier-görbék egyik érdekes alkalmazása egy előre meghatározott ponthalmazon átmenő sima görbe rajzolása. Azért érdekes, mert a P(t) képlete pontokat eredményez, és nem y=f(x) alakú, tehát egy x-nek több y-ja is lehet (alapvetően egy függvény, amely “visszafelé is mehet”). Például valami ilyesmit rajzolhatunk:
Az eredményt előállító matematika azonban nem triviális, ezért írtam egy külön bejegyzést erre:
