Mi történik, ha egy induktort és egy kondenzátort teszel egy áramkörbe? Valami nagyon klassz dolog–és tulajdonképpen fontos.
Mi az az induktor?
Mindenféle induktortípust készíthetsz, de a leggyakoribb típus egy hengeres huzaltekercs– egy szolenoid.
Amikor az áram átfolyik az első hurokon, mágneses mezőt hoz létre, amely áthalad a többi hurokon. A mágneses mezők nem csinálnak semmit, hacsak a nagyságuk nem változik. A változó mágneses mező elektromos mezőt hoz létre a többi hurokban. Ennek az elektromos mezőnek az iránya változást hoz létre az elektromos potenciálban, amely úgy működik, mint egy akkumulátor.
A végén olyan eszközünk van, amelynek potenciálkülönbsége arányos az áram időbeli változásának sebességével (mivel az áram hozza létre a mágneses mezőt). Ez a következőképpen írható fel:
Ebben az egyenletben két dologra kell rámutatni. Először is, az L az induktivitás. Ez csak a szolenoid geometriájától (vagy bármilyen formájától) függ, és az értékét Henry-kben mérik. Másodszor, ott van a negatív előjel. Ez azt jelenti, hogy az induktoron keresztüli potenciálváltozás ellentétes az áramváltozással.
Hogyan viselkedik egy induktor egy áramkörben? Ha állandó áramunk van, akkor nincs változás (egyenáram) és így nincs potenciálkülönbség az induktorral szemben – úgy viselkedik, mintha ott sem lenne. Ha nagyfrekvenciás áram van (váltakozó áramkör), akkor nagy potenciálkülönbség lesz az induktoron.
Mi az a kondenzátor?
Még mindig sokféle konfiguráció létezik egy kondenzátor számára. A legegyszerűbb alakzat két párhuzamos vezető lemezt használ, amelyek mindegyikén elektromos töltés van (de a nettó töltés nulla).
A lemezeken lévő elektromos töltés elektromos mezőt hoz létre a kondenzátor belsejében. Mivel elektromos mező van, a lemezeken keresztül az elektromos potenciálnak is változnia kell. Ennek a potenciálkülönbségnek az értéke a töltés mennyiségétől függ. A kondenzátoron keresztüli potenciálkülönbség a következőképpen írható fel:
Itt C a kapacitás értéke Farad egységben – ez is csak az eszköz fizikai kialakításától függ.
Ha a kondenzátorba áram folyik, akkor a lemezeken lévő töltés értéke változik. Ha állandó (vagy alacsony frekvenciájú) áram folyik, akkor ez az áram továbbra is töltést ad a lemezekhez, hogy növelje az elektromos potenciált, így idővel ez a potenciál végül úgy fog viselkedni, mint egy nyitott áramkör, ahol a kondenzátor feszültsége megegyezik az akkumulátor (vagy a tápegység) feszültségével. Ha nagyfrekvenciás áramot kapunk, akkor a töltés a kondenzátor lemezeihez hozzáadódik és el is vész, töltésfelhalmozódás nélkül, és a kondenzátor úgy fog viselkedni, mintha ott sem lenne.
Mi történik, ha egy kondenzátort és egy induktort kapcsolunk össze?
Tegyük fel, hogy egy töltött kondenzátorral kezdünk, és összekötjük egy induktorral (nincs ellenállás az áramkörben, mert tökéletes fizika-vezetékeket használok). Gondoljunk arra a pillanatra, amikor ez a kettő össze van kötve. Tegyük fel, hogy van egy kapcsoló, akkor a következő diagramokat tudom megrajzolni.
Íme, mi történik. Először is, nincs áram (mivel a kapcsoló nyitva van). Ha a kapcsoló zárva van, akkor lehet áram, és ellenállás nélkül ez az áram a végtelenbe ugrana. Ez a nagy áramnövekedés azonban azt jelenti, hogy az induktoron keresztül keletkező elektromos potenciálban változás következik be. Egy bizonyos ponton az induktoron mért potenciálváltozás nagyobb lesz, mint a kondenzátoron mért változás (mivel a kondenzátor az áramerősséggel töltést veszít), és ekkor az áram iránya megfordul, és a kondenzátor ismét feltöltődik. A folyamat megismétlődik–örökké, mivel nincs ellenállás.
Modellezés egy LC áramkörben.
Ezt LC áramkörnek hívják, mert van egy induktor (L) és egy kondenzátor (C)— gondolom, ez nyilvánvaló. Az elektromos potenciál változásának az egész áramkör körül nullának kell lennie (mert ez egy hurok), így leírhatom:
A Q és I is változik az idővel. Q és I között van egy olyan kapcsolat, hogy az áram az az időbeli változás mértéke, amellyel a töltés elhagyja a kondenzátort.
Most van egy másodrendű differenciálegyenletem a töltésváltozóra. Ezt az egyenletet nem olyan nehéz megoldani — tulajdonképpen csak találgatni tudom a megoldást.
Ez nagyjából ugyanaz, mint a rugón lévő tömeg megoldása (kivéve, hogy ebben az esetben a helyzet változik, nem a töltés). De várjunk csak! Nem kell kitalálnunk a megoldást, ezt a feladatot numerikus számítással is meg lehet oldani. Kezdjük a következő értékekkel:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (ezt az értéket a kiindulási potenciálból és a kapacitásból kapod)
A numerikus megoldás érdekében a feladatot kis időlépésekre bontom. Minden egyes időlépés során:
- A fenti differenciálegyenlet segítségével kiszámítom a töltés második időbeli deriváltját (ezt ddQ-nak fogom nevezni).
- Most, hogy tudom a ddQ-t, a kis időlépés segítségével kiszámíthatom a töltés deriváltját (dQ).
- A dQ értékét felhasználva megtalálom Q új értékét.
- Növelem az időt, és addig folytatom, amíg meg nem unom.
Itt van ez a számítás pythonban (a futtatáshoz kattints a lejátszás gombra).
Azt hiszem, ez elég király. Még jobb, ha megmérheted ennek az áramkörnek a rezgési periódusát (az egérrel lebegtetve megkeresheted az idő értékeit), majd ezt összehasonlíthatod a várható szögfrekvenciával a:
A programban természetesen megváltoztathatsz néhány dolgot, és megnézheted, mi történik—gyerünk, nem fogsz véglegesen elrontani semmit.
Inkluzív ellenállás—LRC áramkör
A fenti modell nem volt reális. A valós áramköröknek (különösen az induktorban lévő hosszú vezetékek) van ellenállása. Ha ezt az ellenállást be akarom vonni a modellembe, az áramkör így nézne ki:
Ez megváltoztatja a feszültséghurok egyenletét. Most már lesz egy kifejezés az ellenálláson keresztüli potenciálesésnek is.
A töltés és az áram közötti kapcsolatot ismét felhasználva megkaphatjuk a következő differenciálegyenletet:
Az ellenállás hozzáadásával ez egy sokkal bonyolultabb egyenlet lesz, és nem tudjuk csak úgy “kitalálni” a megoldást. Azonban nem lehet túl nehéz módosítani a fenti numerikus számításunkat, hogy megoldjuk ezt a problémát. Valójában az egyetlen dolog, ami változik, az a sor, amelyben a töltés második deriváltját kiszámítjuk. Hozzáadtam ott egy kifejezést az ellenállás figyelembevételére (de nem az elsőrendű). 3 Ohm ellenállást használva a következőt kapom (a futtatáshoz ismét nyomd meg a lejátszást):
Itt van néhány dolog, amit kipróbálhatsz:
- Változtasd meg az ellenállás értékét. Ha az érték túl nagy, az áram elhalkul, mielőtt még rezgést kapnál.
- Mi van, ha a kondenzátoron átmenő feszültség helyett az áramot akarod ábrázolni? Nézd meg, hogy meg tudod-e csinálni.
- Mi lenne, ha az ellenálláson keresztüli feszültséget ábrázolnád?
Igen, a C és L értékét is megváltoztathatod, de légy óvatos. Ha túl alacsonyak, a frekvencia nagyon magas lesz, és az időlépés méretét kisebbre kell változtatnod.
Valódi LRC áramkörök
Amikor elkészítesz egy modellt (akár analitikusan, akár numerikusan), néha nem igazán tudod, hogy az jogos vagy teljesen hamis. A modell tesztelésének egyik módja a valós adatokkal való összehasonlítás. Tegyük ezt meg. Íme az én beállításom.
Így működik. Először is, a három D-cellás elemmel feltöltöm a kondenzátort. Azt, hogy mikor van majdnem teljesen feltöltve, a kondenzátoron mért feszültség értékéből tudom megállapítani. Ezután leválasztom az elemeket, majd bezárom a kapcsolót, hogy a kondenzátor az induktoron keresztül kisüljön. Az ellenállás csak a vezetékek része — nincs külön ellenállásom.
Kipróbáltam a kondenzátorok és induktorok többféle kombinációját, és végül sikerült elérnem, hogy valami működjön. Ebben az esetben egy 5 μF-os kondenzátort és egy régi gagyi kinézetű transzformátort használtam az induktoromhoz (a fenti képen nem látható). Nem voltam biztos az induktivitás értékében, ezért csak becsültem a szögfrekvenciát, és a kapacitás ismert értékét használtam a 13,6 Henrys induktivitás megoldásához. Az ellenálláshoz megpróbáltam ezt az értéket Ohm-mérővel megmérni, de a 715 Ohm-os érték használata a modellemben a legjobbnak tűnt.
Itt van egy grafikon mind a numerikus modellemből, mind a tényleges áramkörben mért feszültségből (egy Vernier differenciális feszültségszondát használtam, hogy a feszültséget az idő függvényében kapjam meg).
Ez nem tökéletes illeszkedés–de nekem elég közel van hozzá. Nyilvánvalóan játszhatnék egy kicsit a paraméterekkel, hogy jobb illeszkedést kapjak, de azt hiszem, ez azt mutatja, hogy a modellem nem őrült.
Miért használjunk LRC áramkört?
Az LRC áramkör legfontosabb jellemzője, hogy van egy bizonyos saját frekvenciája, amely függ az L és C értékeitől. Mi van, ha egy oszcilláló feszültségforrást csatlakoztatok ehhez az LRC áramkörhöz? Ebben az esetben az áramkörben a maximális áram az oszcilláló feszültségforrás frekvenciájától függ. Ha a feszültségforrás ugyanolyan frekvencián van, mint az LC-áramkör, akkor kapjuk a legnagyobb áramot.
Itt lehet felhasználni ezt az ötletet:
Az alufóliás cső egy kondenzátor, a becsomagolt drótos cső pedig egy induktor. Ezek együtt (egy diódával és egy fülhallgatóval) kristályrádiót alkotnak. Igen, ezt én raktam össze néhány egyszerű kellékkel (követtem az utasításokat ezen a YouTube videón). Az alapötlet az, hogy mind a kondenzátor, mind az induktor értékét úgy állítsuk be, hogy egy adott rádióállomásra “hangoljunk”. Nem igazán tudtam rávenni, hogy működjön – azt hiszem, csak nincsenek jó AM rádióállomások a környéken (vagy talán az induktorom szívott). Találtam azonban ezt a régi kristályrádió-készletet, ami egy kicsit jobban működött.
Találtam egy állomást, amit alig hallottam, így azt hiszem, van rá esély, hogy a házi készítésű rádióm egyszerűen nem volt elég jó ahhoz, hogy felvegye az állomást. De hogyan is működik pontosan ez az RLC rezonanciaáramkör, és hogyan lehet hangjelet kapni belőle? Talán ezt egy későbbi posztra tartogatom.
