iskola energia&környezet

A természet számai: a Fibonacci-sorozat

A Fibonacci-sorozat mindig is felkeltette az emberek figyelmét, hiszen amellett, hogy különleges matematikai tulajdonságokkal rendelkezik, olyan mindenütt jelenlévő számok, mint Fibonaccié, sehol máshol nem léteznek a matematikában: megjelennek a geometriában, algebrában, számelméletben, a matematika számos más területén és még a természetben is! Derítsük ki együtt, hogy mi az …

Fibonacci élete
Leonardo Pisano, akit Fibonaccinak hívtak (a Fibonacci a filius Bonacii rövidítése) 1170 körül született Pisában. Apja, Guglielmo dei Bonacci, aki gazdag pisai kereskedő és a pisai köztársaság kereskedőinek képviselője volt Bugia Cabilia (a mai Északkelet-Algéria) területén, 1192 után magához vette fiát, mert azt akarta, hogy Leonardóból kereskedő legyen.

Így Leonardo tanult, egy muszlim tanár irányításával, aki rávezette őt a számolási technikák elsajátítására, különösen az Európában még nem elterjedt indo-arab számokra vonatkozó számolási technikák elsajátítására. Fibonacci oktatása Bejaiában kezdődött, majd Egyiptomban, Szíriában és Görögországban is folytatódott, olyan helyeken, amelyeket apjával a kereskedelmi útvonalak mentén látogatott meg, mielőtt 1200 körül kezdődően végleg visszatért volna Pisába. A következő 25 évben Fibonacci matematikai kéziratok írásának szentelte magát: ezek közül a Liber Abaci (1202), amelynek köszönhetően Európa megismerte az indo-arab számokat, a Practica Geometriae (1220), a Flos (1225) és a Liber Quadratorum (1225) ma ismertek.
Leonardo matematikus hírneve olyan nagy lett, hogy 1225-ben Pisában tartózkodva II. föderik császár audienciát kért tőle. 1228 után nem sokat tudunk Leonardo életéről, kivéve, hogy a matematika terén elért nagy előrelépéseinek elismeréseként megkapta a “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” címet. Fibonacci valamikor 1240 után halt meg, feltehetően Pisában.

Fibonacci nyulai és a híres sorozat
Liber Abaci amellett, hogy az indo-arab számokra utalt, amelyek később átvették a római számok helyét, a kereskedőknek címzett problémák nagy gyűjteményét is tartalmazta, amelyek a termékárakra, az üzleti nyereség kiszámítására, a mediterrán államokban használatos különböző érmékre való átváltásra, valamint más kínai eredetű problémákra vonatkoztak. E kereskedelmi problémák mellett voltak más, sokkal híresebbek is, amelyek szintén nagy hatással voltak a későbbi szerzőkre. Közülük a leghíresebb, a későbbi évszázadok számos matematikusának inspiráló forrása a következő: “Hány nyúlpár születik egy év alatt, egyetlen párból kiindulva, ha minden hónapban minden pár egy új párnak ad életet, amely a második hónaptól szaporodóvá válik?”. A probléma megoldása a híres “Fibonacci-sorozat”: 0, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… egy olyan számsorozat, amelyben minden egyes tag az előző kettő összege.

A sorozat fontos jellemzője, hogy a sorozat bármely száma és a sorozat előző száma közötti arány egy jól meghatározott érték felé tendál: 1,618… Ez az aranymetszés vagy aranymetszés, φ (Phi), amely gyakran előfordul a természetben (bővebben: A csiga tökéletessége).
Amikor Fibonacci ezt a sorozatot egy “szabadidős matematikai” feladat megoldásaként illusztrálta, nem tulajdonított neki különösebb jelentőséget. Csak 1877-ben Édouard Lucas matematikus publikált néhány fontos tanulmányt erről a sorozatról, amelyet állítólag a Liber Abaciban talált, és amelyet a szerző tiszteletére “Fibonacci-sorozatnak” nevezett el. A tanulmányok ezt követően megsokszorozódtak, és e sorozat számos és váratlan tulajdonságát fedezték fel, olyannyira, hogy 1963 óta egy kizárólag ezzel foglalkozó folyóirat, a “The Fibonacci quarterly” is megjelenik.

A Fibonacci-sorozat a természetben
A növények, virágok vagy gyümölcsök geometriáját megfigyelve könnyű felismerni a visszatérő struktúrák és formák jelenlétét. A Fibonacci-sorozat például fontos szerepet játszik a növénytanban, amely a levelek, ágak, virágok vagy magvak elrendeződését tanulmányozza a növényekben, azzal a fő céllal, hogy rávilágítson a szabályos minták létezésére. A természeti elemek különböző elrendezései meglepő matematikai szabályszerűségeket követnek: D’arcy Thompson megfigyelte, hogy a növényvilág különös módon kedvel bizonyos számokat és bizonyos spirálgeometriákat, és hogy ezek a számok és geometriák szorosan összefüggnek egymással.
A Fibonacci-sorozat számait könnyen megtalálhatjuk a százszorszép, a napraforgó, a karfiol és a brokkoli összetett virágzatában az egyes virágok által alkotott spirálokban.

Kepler volt az, aki észrevette, hogy számos fafajon a levelek olyan mintázatban sorakoznak, amely két Fibonacci-számot tartalmaz. Bármelyik levélből kiindulva, a spirál egy, két, három vagy öt fordulat után mindig van egy levél, amely az elsőhöz igazodik, és a fajtól függően ez lesz a második, a harmadik, az ötödik, a nyolcadik vagy a tizenharmadik levél.

Egy másik egyszerű példát, amelyben a Fibonacci-sorozatot megtalálhatjuk a természetben, a virágok szirmainak száma adja. A legtöbbnek három (mint a liliomnak és az írisznek), öt (parnasszia, csipkebogyó) vagy nyolc (cosmea), 13 (egyes százszorszépek), 21 (cikória), 34, 55 vagy 89 (asteraceae). Ezek a számok az előző bekezdésben leírt híres Fibonacci-sorozat részei.

Benedetta Palazzo