Körkörös mozgás

Gondoljunk egy részecskét, amely egy kör kerületén egyenletes sebességgel mozog úgy, hogy óránként egy teljes fordulatot tesz meg. A mozgás matematikai leírásához konstruáljunk egy vektort a kör középpontjától a részecske felé. A vektor ezután óránként egy teljes fordulatot tesz meg. Más szóval, a vektor pontosan úgy viselkedik, mint a karóra nagymutatója, egy állandó hosszúságú nyíl, amely óránként egy teljes fordulatot tesz meg. A vektor pontjának mozgása az egyenletes körmozgás példája, és a mozgás T periódusa egy órával egyenlő (T = 1 h). A nyílvessző óránként 2π radián (egy teljes kör) szöget söpör ki. Ezt a sebességet szögfrekvenciának nevezzük, és ω = 2π h-1 -nek írjuk. Egészen általánosságban, az egyenletes körmozgás esetén bármilyen sebességgel,

Ezek a definíciók és összefüggések ugyanazok, mint a fentebb tárgyalt harmonikus mozgás esetén.

Feldolgozzunk egy koordinátarendszert a 8A ábrán látható módon, ahol a kör középpontja az origóban van. A részecske helyzete bármely időpontban megadható a kör r sugarának és a helyzetvektor és az x-tengely közötti θ szögnek a megadásával. Bár r állandó, θ egyenletesen nő a t idővel, úgy, hogy θ = ωt, vagy dθ/dt = ω, ahol ω a (26. egyenletben szereplő szögfrekvencia.) A karóra esetével ellentétben azonban ω a konvenció szerint pozitív, ha a forgás az óramutató járásával ellentétes irányban történik. Az r vektornak x és y komponensei az alábbiak szerint adódnak:

A (27) és (28) egyenletek egyik jelentése az, hogy amikor egy részecske egyenletes körmozgást végez, az x és y komponensei mindegyike egyszerű harmonikus mozgást végez. Ezek azonban nincsenek egymással fázisban: abban a pillanatban, amikor az x amplitúdója maximális (mondjuk θ = 0-nál), az y amplitúdója nulla, és fordítva.

Rövid idő, Δt alatt a részecske a kör kerületén rΔθ halad, ahogy a 8B ábrán látható. A részecske átlagos sebessége tehát

A részecske átlagos sebessége egy vektor, amelyet

A vektorok kivonásának e művelete a 8B ábrán látható. Ez egy olyan vektort eredményez, amely közel merőleges r(t) és r(t + Δt) értékekre. Valójában a pillanatnyi sebesség, amelyet úgy találunk, hogy Δt-t nullára zsugorodni hagyjuk, egy olyan vektor, amely minden pillanatban merőleges r-re, és amelynek nagysága

Az r és v közötti kapcsolatot a 8C. ábra mutatja. Ez azt jelenti, hogy a részecske pillanatnyi sebessége mindig érintőleges a körre.

Megjegyezzük, hogy ahogy az r helyzetvektor leírható a (27) és (28) egyenletek által adott x és y komponensekkel, úgy a v sebességvektor is leírható az x és y tengelyre vetített vetületeivel, az alábbiak szerint

Képzeljünk el egy új koordinátarendszert, amelyben egy ωr hosszúságú vektor nyúlik ki az origóból, és mindig a v-vel azonos irányba mutat. Ez a konstrukció a 8D ábrán látható. Minden alkalommal, amikor a részecske egy teljes kört söpör ki, ez a vektor is egy teljes kört söpör ki. Valójában a pontja egyenletes körmozgást végez ugyanolyan szögfrekvenciával, mint maga a részecske. Mivel a vektoroknak van nagyságuk és irányuk, de nincs helyük a térben, a konstruált vektor a sebesség v. A részecske sebessége maga is egyenletes körmozgást végez ω szögfrekvenciával.

A részecske sebessége ugyan állandó, a részecske mégis gyorsul, mert sebessége folyamatosan irányt vált. Az a gyorsulást az

Mivel v egy rω hosszúságú, egyenletes körmozgást végző vektor, a (29) és (30) egyenletek megismételhetők, amint azt a 8E. ábra szemlélteti, így

Így, megállapíthatjuk, hogy a pillanatnyi gyorsulás mindig merőleges v-re, és nagysága

Mivel v merőleges r-re, és a merőleges v-re, az a vektor r-hez képest 180°-kal elfordul. Más szóval a gyorsulás r-rel párhuzamos, de ellentétes irányú. Ugyanerre a következtetésre juthatunk, ha felismerjük, hogy a-nak x és y komponensei vannak, amelyeket

a (32) és (33) egyenletekhez hasonlóan adnak meg. Ha a (38) és (39) egyenleteket összehasonlítjuk az x-re és y-ra vonatkozó (27) és (28) egyenletekkel, akkor egyértelmű, hogy az a összetevői csak az r-nek a -ω2-vel megszorzott összetevői, tehát a = -ω2r. Ezt a gyorsulást centripetális gyorsulásnak nevezzük, ami azt jelenti, hogy befelé, a sugárvektor mentén a kör középpontja felé mutat. Néha hasznos a centripetális gyorsulást a v sebességgel kifejezni. Használjuk a v = ωr értéket, felírhatjuk