行列表現
実際にベジエの式を行列の掛け算で表現することができます。 例題に戻ると、P(t)は次のように書き換えられます：
こうして、2次ベジエ曲線に関するすべての情報が1つの行列Mにコンパクト化されました。さて、これらのすべてのステップを行わず、簡単にプログラムできる方法で、その行列の係数を求めたいと思うかも知れません。 行列の係数は単純に各Piの前の多項式の係数なので、求めているのはベルンシュタイン多項式eq. 2.
の展開形です。もう一つ、Bi(t)を展開すれば、行列のi列目に相当するPiの前の多項式が得られます。 しかし、これはあまり便利ではなく、代わりに行を得ることができれば、より簡単にプログラミングすることができます。 とはいえ、行列のi(th)行は反転した(n-i)(th)列と全く同じであり、反転した(n-i)(th)列の係数はtの累乗でとったB(n-i)(t)の係数以外の何者でもないことがわかるかもしれません。
悩んだらeq. 2とeq. 3を参照するといいかもしれません。
したがって、行列の係数はtの前の係数に他ならない、つまり、
Interpolation
Bézier 曲線の面白い応用として、あらかじめ定義した点の集合を通る滑らかなカーブを描くことがある。 なぜ面白いかというと、P(t) の式は点を生成し、y=f(x) の形ではないので、1 つの x が複数の y を持つことができるからです (基本的に「逆戻り」できる関数です)。 例えば次のようなものが描けます:
しかし、この結果を出すための数学は簡単ではありませんので、このために専用の記事を書きました：
