Matrixvoorstelling
We kunnen de Bézier formule eigenlijk voorstellen met behulp van matrixvermenigvuldiging, wat nuttig kan zijn in andere contexten, bijvoorbeeld voor het splitsen van de Bézier kromme. Als we teruggaan naar ons voorbeeld kunnen we P(t) als volgt herschrijven:
En zo is alle informatie over de kwadratische Bézier-kromme samengebald in één matrix, M. Nu willen we misschien de coëfficiënten van die matrix vinden zonder al deze stappen te moeten doen, en op een manier die gemakkelijk programmeerbaar is. Aangezien de coëfficiënten van de matrix eenvoudigweg de coëfficiënten zijn van de veelterm voor elke Pi, zoeken we de geëxpandeerde vorm van de Bernstein veelterm eq. 2.
Nog iets: als we Bi(t) expanderen, krijgen we de veelterm voor Pi, die overeenkomt met de i(d) kolom in de matrix. Dat is echter niet echt handig en het zou gemakkelijker te programmeren zijn als we in plaats daarvan rijen konden krijgen. Dit gezegd zijnde, zou u kunnen opmerken dat de i(th) rij van de matrix precies hetzelfde is als de omgekeerde (n-i)(th) kolom, en de coëfficiënten van de omgekeerde (n-i)(th) kolom zijn niets anders dan de coëfficiënten van B(n-i)(t) genomen in afnemende machten van t.
Je zou eq. 2 en eq. 3 kunnen raadplegen als je wat problemen hebt.
Daaruit volgt dat de coëfficiënten van de matrix niets anders zijn dan de coëfficiënten voor t, wat betekent:
Interpolatie
Een interessante toepassing van Bézier krommen is het tekenen van een vloeiende kromme die door een vooraf gedefinieerde verzameling punten gaat. De reden dat dit interessant is, is dat de formule van P(t) punten oplevert en niet van de vorm y=f(x) is, zodat één x meerdere y’s kan hebben (in feite een functie die “achteruit” kan gaan). We zouden bijvoorbeeld iets als dit kunnen tekenen:
De wiskunde om dit resultaat te produceren is echter niet triviaal en daarom heb ik er een speciale post aan gewijd:
