Bedenk dat een deeltje langs de omtrek van een cirkel beweegt met een uniforme snelheid, zodanig dat het elk uur een volledige omwenteling maakt. Om de beweging wiskundig te beschrijven, construeert men een vector van het middelpunt van de cirkel naar het deeltje. De vector maakt dan elk uur een volledige omwenteling. Met andere woorden, de vector gedraagt zich precies als de grote wijzer van een polshorloge, een pijl van vaste lengte die elk uur een volledige omwenteling maakt. De beweging van de punt van de vector is een voorbeeld van eenparige cirkelbeweging, en de periode T van de beweging is gelijk aan één uur (T = 1 h). De pijl maakt een hoek van 2π radialen (één volledige cirkel) per uur. Deze snelheid wordt de hoekfrequentie genoemd en wordt geschreven als ω = 2π h-1. In het algemeen geldt voor eenparige cirkelvormige bewegingen
Deze definities en relaties zijn dezelfde als die voor harmonische bewegingen, die hierboven zijn besproken.
Beschouw een coördinatenstelsel, zoals weergegeven in figuur 8A, met de cirkel in het middelpunt van de oorsprong. Op elk willekeurig tijdstip kan de positie van het deeltje worden bepaald door de straal r van de cirkel en de hoek θ tussen de positievector en de x-as op te geven. Hoewel r constant is, neemt θ gelijkmatig toe met de tijd t, zodat θ = ωt, of dθ/dt = ω, waarbij ω de hoekfrequentie is in vergelijking (26). In tegenstelling tot het geval van het polshorloge is ω echter volgens afspraak positief als de draaiing tegen de klok in is. De vector r heeft x- en y-componenten, gegeven door
Encyclopædia Britannica, Inc.
Eén betekenis van vergelijkingen (27) en (28) is dat, wanneer een deeltje een uniforme cirkelvormige beweging ondergaat, zijn x- en y-componenten elk een eenvoudige harmonische beweging ondergaan. Zij zijn echter niet in fase met elkaar: op het moment dat x zijn maximale amplitude heeft (zeg, bij θ = 0), heeft y een amplitude van nul, en omgekeerd.
In een korte tijd, Δt, beweegt het deeltje rΔθ langs de omtrek van de cirkel, zoals te zien is in figuur 8B. De gemiddelde snelheid van het deeltje wordt aldus gegeven door
De gemiddelde snelheid van het deeltje is een vector gegeven door
Deze bewerking van vectoraftrekking is aangegeven in figuur 8B. Ze levert een vector op die bijna loodrecht staat op r(t) en r(t + Δt). De momentane snelheid, die wordt gevonden door Δt tot nul te laten krimpen, is immers een vector v die op elk moment loodrecht op r staat en waarvan de grootte
Het verband tussen r en v wordt getoond in figuur 8C. Dit betekent dat de momentane snelheid van het deeltje altijd raakt aan de cirkel.
Merk op dat, net zoals de positievector r kan worden beschreven in termen van de componenten x en y gegeven door vergelijkingen (27) en (28), de snelheidsvector v kan worden beschreven in termen van zijn projecties op de assen x en y, gegeven door
Stel u een nieuw coördinatenstelsel voor, waarin een vector met lengte ωr zich uitstrekt vanuit de oorsprong en te allen tijde in dezelfde richting wijst als v. Deze constructie is weergegeven in figuur 8D. Telkens wanneer het deeltje een volledige cirkel afveegt, veegt deze vector ook een volledige cirkel af. In feite voert het punt van de vector een uniforme cirkelbeweging uit met dezelfde hoekfrequentie als het deeltje zelf. Omdat vectoren magnitude en richting hebben, maar geen positie in de ruimte, is de vector die geconstrueerd is, de snelheid v. De snelheid van het deeltje ondergaat zelf eenparige cirkelvormige beweging met hoekfrequentie ω.
Hoewel de snelheid van het deeltje constant is, wordt het deeltje toch versneld, omdat zijn snelheid voortdurend van richting verandert. De versnelling a wordt gegeven door
Omdat v een vector met lengte rω is die een uniforme cirkelvormige beweging ondergaat, kunnen de vergelijkingen (29) en (30) worden herhaald, zoals geïllustreerd in figuur 8E, hetgeen
Dus, kan men concluderen dat de momentane versnelling altijd loodrecht op v staat en zijn grootte
Omdat v loodrecht op r staat, en a loodrecht op v staat, is de vector a 180° gedraaid ten opzichte van r. Met andere woorden, de versnelling is evenwijdig aan r, maar in tegengestelde richting. Dezelfde conclusie kan worden getrokken door te beseffen dat a x- en y-componenten heeft die gegeven worden door
gelijk aan vergelijkingen (32) en (33). Wanneer men vergelijkingen (38) en (39) vergelijkt met vergelijkingen (27) en (28) voor x en y, dan is het duidelijk dat de componenten van a slechts die van r zijn vermenigvuldigd met -ω2, zodat a = -ω2r. Deze versnelling heet centripetaalversnelling, hetgeen betekent dat zij naar binnen is gericht, langs de straalvector in de richting van het middelpunt van de cirkel. Het is soms nuttig om de centripetale versnelling uit te drukken in termen van de snelheid v. Met v = ωr, kan men schrijven
