school energie&milieu

De getallen van de natuur: de reeks van Fibonacci

De reeks van Fibonacci heeft altijd de aandacht van de mensen getrokken omdat, behalve dat ze bijzondere wiskundige eigenschappen heeft, andere getallen die zo alomtegenwoordig zijn als die van Fibonacci nergens anders in de wiskunde voorkomen: ze komen voor in de meetkunde, algebra, getaltheorie, in vele andere gebieden van de wiskunde en zelfs in de natuur! Laten we samen uitzoeken wat het is…

Het leven van Fibonacci
Leonardo Pisano, Fibonacci genoemd (Fibonacci staat voor filius Bonacii) werd rond 1170 in Pisa geboren. Zijn vader, Guglielmo dei Bonacci, een rijke Pisaanse koopman en vertegenwoordiger van de kooplieden van de Republiek Pisa in het gebied van Bugia in Cabilia (in het moderne noordoosten van Algerije), nam na 1192 zijn zoon met zich mee, omdat hij wilde dat Leonardo koopman zou worden.

Hij liet Leonardo dus studeren, onder leiding van een moslimleraar, die hem begeleidde bij het aanleren van rekentechnieken, vooral die betreffende Indo-Arabische getallen, die nog niet in Europa waren ingevoerd. Fibonacci’s opleiding begon in Bejaia en ging ook verder in Egypte, Syrië en Griekenland, plaatsen die hij met zijn vader langs de handelsroutes bezocht, alvorens vanaf ongeveer 1200 permanent naar Pisa terug te keren. De volgende 25 jaar wijdde Fibonacci zich aan het schrijven van wiskundige manuscripten: hiervan zijn Liber Abaci (1202), dankzij welke Europa kennis maakte met de Indo-Arabische getallen, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) en Liber Quadratorum (1225) ons vandaag bekend.
Leonardo’s reputatie als wiskundige werd zo groot dat keizer Federico II een audiëntie vroeg tijdens een verblijf in Pisa in 1225. Na 1228 is er niet veel bekend over Leonardo’s leven, behalve dat hij de titel “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” kreeg, als erkenning voor de grote vooruitgang die hij in de wiskunde boekte. Fibonacci stierf ergens na 1240, vermoedelijk in Pisa.

De konijnen van Fibonacci en de beroemde reeks
Liber Abaci verwezen niet alleen naar Indo-Arabische getallen, die later de plaats van de Romeinse cijfers innamen, maar bevatten ook een grote verzameling problemen gericht aan kooplieden, betreffende de prijzen van produkten, de berekening van de bedrijfswinst, de omrekening van valuta in de verschillende munten die in de mediterrane staten in gebruik waren, alsmede andere problemen van Chinese oorsprong. Naast deze handelsproblemen waren er andere, veel beroemdere, die ook een grote invloed hadden op latere auteurs. De beroemdste daarvan, bron van inspiratie voor vele wiskundigen van latere eeuwen, is de volgende: “Hoeveel konijnenparen zullen er in een jaar geboren worden, uitgaande van een enkel paar, als elke maand elk paar een nieuw paar baart, dat vanaf de tweede maand voortplantend wordt?”. De oplossing van dit probleem is de beroemde “Fibonacci rij”: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… een getallenreeks waarin elk lid de som is van de vorige twee.

Een belangrijk kenmerk van de reeks is het feit dat de verhouding tussen elk getal en het vorige in de reeks naar een welbepaalde waarde neigt: 1,618… Dit is de gulden snede of gulden snede, φ (Phi), die vaak in de natuur voorkomt (om meer te weten over: De volmaaktheid van de slak).
Toen Fibonacci deze reeks illustreerde, als oplossing voor een “recreatief wiskunde” probleem, hechtte hij er geen bijzonder belang aan. Pas in 1877 publiceerde de wiskundige Édouard Lucas een aantal belangrijke studies over deze rij, die hij beweerde te hebben gevonden in Liber Abaci en die hij, ter ere van de auteur, de “rij van Fibonacci” noemde. De studies namen vervolgens toe, en talrijke en onverwachte eigenschappen van deze reeks werden ontdekt, zozeer zelfs dat sinds 1963 een tijdschrift verschijnt dat er uitsluitend aan gewijd is, “The Fibonacci quarterly”.

De Fibonacci reeks in de natuur
Als men de geometrie van planten, bloemen of vruchten bekijkt, is het gemakkelijk om de aanwezigheid van terugkerende structuren en vormen te herkennen. De reeks van Fibonacci speelt bijvoorbeeld een essentiële rol in de fyllotaxis, die de rangschikking van bladeren, takken, bloemen of zaden in planten bestudeert, met als hoofddoel het bestaan van regelmatige patronen aan te tonen. De verschillende ordeningen van natuurlijke elementen volgen verrassende mathematische regelmatigheden: D’arcy Thompson stelde vast dat het plantenrijk een merkwaardige voorkeur heeft voor bepaalde getallen en voor bepaalde spiraalgeometrieën, en dat deze getallen en geometrieën nauw verwant zijn.
We kunnen de getallen van de Fibonacci-reeks gemakkelijk terugvinden in de spiralen die worden gevormd door individuele bloemen in de samengestelde bloeiwijzen van madeliefjes, zonnebloemen, bloemkolen en broccoli.

Het was Kepler die opmerkte dat bij veel soorten bomen de bladeren zijn gerangschikt in een patroon dat twee Fibonacci-getallen omvat. Vertrekkend van om het even welk blad, na één, twee, drie of vijf omwentelingen van de spiraal is er altijd een blad dat uitgelijnd is met het eerste en, afhankelijk van de soort, zal dit het tweede, het derde, het vijfde, het achtste of het dertiende blad zijn.

Een ander eenvoudig voorbeeld waarbij het mogelijk is de Fibonacci-reeks in de natuur te vinden, wordt gegeven door het aantal bloemblaadjes van bloemen. De meeste hebben er drie (zoals lelies en irissen), vijf (parnassia, rozenbottels) of acht (cosmea), 13 (sommige madeliefjes), 21 (cichorei), 34, 55 of 89 (asteraceae). Deze getallen maken deel uit van de beroemde Fibonacci-reeks die in de vorige paragraaf is beschreven.

Door Benedetta Palazzo