Wat gebeurt er als je een spoel en een condensator in een schakeling plaatst? Iets leuks – en eigenlijk ook belangrijk.
Wat is een spoel?
Je kunt allerlei verschillende soorten spoelen maken, maar het meest voorkomende type is een cilindervormige spoel van draad – een solenoïde.
Als er stroom door de eerste lus loopt, ontstaat er een magnetisch veld dat door de andere lussen loopt. Magnetische velden doen eigenlijk niets, tenzij de magnitude verandert. Een veranderend magnetisch veld zal een elektrisch veld creëren in de andere lussen. De richting van dit elektrisch veld zal een verandering in elektrisch potentiaal teweegbrengen die werkt als een batterij.
In het eind hebben we een apparaat dat een potentiaalverschil heeft dat evenredig is met de tijdssnelheid van verandering van de stroom (aangezien de stroom het magnetisch veld maakt). Dit kan worden geschreven als:
Er zijn twee dingen op te merken in deze vergelijking. Ten eerste is de L de inductie. Deze hangt alleen af van de geometrie van de solenoïde (of welke vorm je ook hebt) en de waarde wordt gemeten in Henry’s. Ten tweede is er het negatieve teken. Dit betekent dat de verandering in potentiaal over de spoel tegengesteld is aan de verandering in stroom.
Hoe gedraagt een spoel zich in een stroomkring? Als er een constante stroom is, dan is er geen verandering (gelijkstroom) en dus ook geen potentiaalverschil over de spoel – hij gedraagt zich alsof hij er niet eens is. Als er een hoge frequentie stroom is (AC stroomkring) dan zal er een groot potentiaalverschil over de spoel zijn.
Wat is een condensator?
Er zijn weer een heleboel verschillende configuraties voor een condensator. De eenvoudigste vorm maakt gebruik van twee parallelle geleidende platen met elektrische lading op elke plaat (maar een nettolading van nul).
De elektrische lading op deze platen creëert een elektrisch veld binnenin de condensator. Aangezien er een elektrisch veld is, moet er ook een verandering in de elektrische potentiaal over de platen zijn. De waarde van dit potentiaalverschil hangt af van de hoeveelheid lading. Het potentiaalverschil over de condensator kan worden geschreven als:
Hierbij is C de waarde van de capaciteit in eenheden van Farads–het hangt ook alleen af van de fysieke configuratie van het apparaat.
Als er een stroom in de condensator gaat, zal de waarde van de lading op de platen veranderen. Als er een constante (of lage frequentie) stroom is, zal deze stroom last aan platen blijven toevoegen om het elektrische potentieel te verhogen zodat na verloop van tijd, dit potentieel zich uiteindelijk als een open kring met het condensatorvoltage zal gedragen gelijk aan het batterijvoltage (of de voeding). Als u een hoge frequentiestroom hebt, zal de last zowel worden toegevoegd als worden weggehaald van de platen in de condensator zonder ladingsopbouw en de condensator zal handelen alsof het zelfs niet there.
Wat gebeurt wanneer u een condensator en een inductor aansluit?
Voorstel dat wij met een geladen condensator beginnen en het omhoog aan een inductor vasthaken (geen weerstand in de kring omdat ik perfecte fysica-draden gebruik). Denk aan het moment waarop deze twee worden verbonden. Stel dat er een schakelaar is, dan kan ik de volgende diagrammen tekenen.
Hier ziet u wat er gebeurt. Eerst is er geen stroom (omdat de schakelaar open staat). Zodra de schakelaar gesloten is, kan er een stroom lopen en zonder weerstand zou deze stroom tot in het oneindige oplopen. Deze grote toename van de stroom betekent echter dat er een verandering van de elektrische potentiaal over de spoel zal optreden. Op een bepaald moment zal de verandering in potentiaal over de spoel groter zijn dan die over de condensator (omdat de condensator lading verliest met de stroom) en dan zal de stroom omkeren en de condensator weer opladen. Het proces herhaalt zich – eeuwig, want er is geen weerstand.
Een LC kring modelleren.
Het wordt een LC kring genoemd omdat het een spoel (L) en een condensator (C) heeft – dat zal wel duidelijk zijn. De verandering in elektrische potentiaal rond de hele kring moet nul zijn (omdat het een lus is) zodat ik kan schrijven:
Zowel Q als I veranderen met de tijd. Er is een verband tussen Q en I in die zin dat de stroom de tijdssnelheid is waarmee de lading de condensator verlaat.
Nu heb ik een tweede orde differentiaalvergelijking voor de ladingsvariabele. Dit is niet zo’n moeilijke vergelijking om op te lossen–in feite kan ik gewoon naar een oplossing gissen.
Dit is vrijwel hetzelfde als de oplossing voor een massa op een veer (behalve dat in dat geval de positie verandert, en niet de lading). Maar wacht! We hoeven niet naar een oplossing te raden, je kunt dit probleem ook oplossen met een numerieke berekening. Laat ik beginnen met de volgende waarden:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (deze waarde krijg je uit de startpotentiaal en de capaciteit)
Om dit numeriek op te lossen, zal ik het probleem opdelen in kleine tijdstappen. Tijdens elke tijdstap zal ik:
- de bovenstaande differentiaalvergelijking gebruiken om de tweede tijdsafgeleide van de lading te berekenen (ik noem dit ddQ).
- Nu ik ddQ weet, kan ik de kleine tijdstap gebruiken om de afgeleide van de lading (dQ) te berekenen.
- Gebruik de waarde van dQ om de nieuwe waarde van Q te vinden.
- Verhoog de tijd en ga door tot ik me verveel.
Hier is deze berekening in python (klik op de afspeelknop om hem uit te voeren).
Dat vind ik best cool. Nog beter, je kunt de periode van oscillatie voor deze schakeling meten (gebruik je muis om te hoveren en waarden voor tijd te vinden) en dat dan vergelijken met de verwachte hoekfrequentie met behulp van:
Natuurlijk kun je wat dingen in dat programma veranderen en kijken wat er gebeurt–ga je gang, je zult niets permanent kapot maken.
Inclusief weerstand—LRC schakeling
Het bovenstaande model was niet realistisch. Echte schakelingen (vooral de lange draden in een spoel) hebben weerstand. Als ik die weerstand in mijn model wil opnemen, zou de schakeling er als volgt uitzien:
Dit zal de vergelijking van de spanningslus veranderen. Er komt nu ook een term voor de potentiaalval over de weerstand.
Ik kan weer het verband tussen lading en stroom gebruiken om de volgende differentiaalvergelijking te krijgen:
Met de toevoeging van de weerstand wordt dit een veel moeilijkere vergelijking en kunnen we niet zomaar een oplossing “raden”. Het zou echter niet al te moeilijk moeten zijn om onze numerieke berekening hierboven aan te passen om dit probleem op te lossen. Het enige dat verandert is de regel waarin de tweede afgeleide van de lading wordt berekend. Ik heb daar een term toegevoegd om rekening te houden met de weerstand (maar niet met de eerste orde). Als ik een weerstand van 3 Ohm gebruik, krijg ik het volgende (nogmaals, druk op play om het uit te voeren).
Hier zijn enkele dingen die u kunt proberen:
- Verander de waarde van de weerstand. Als de waarde te hoog is, sterft de stroom al af voordat je een oscillatie krijgt.
- Wat als je de stroom wilt uitzetten in plaats van de spanning over de condensator? Kijk eens of dat lukt.
- Wat dacht je van een plot van de spanning over de weerstand?
Ja, je kunt ook de waarden voor C en L veranderen, maar wees voorzichtig. Als ze te laag zijn, wordt de frequentie erg hoog en moet u de grootte van de tijdstap kleiner maken.
Echte LRC-schakelingen
Wanneer u een model maakt (analytisch of numeriek), weet u soms niet echt of het legitiem is of compleet nep. Een manier om je model te testen is door een vergelijking te maken met echte gegevens. Laten we dat eens doen. Dit is mijn opstelling.
Dit is hoe het werkt. Eerst gebruik ik de drie D-cel batterijen om de condensator op te laden. Ik kan zien wanneer de condensator bijna volledig is opgeladen door te kijken naar de waarde van de spanning over de condensator. Vervolgens ontkoppel ik de batterijen en sluit de schakelaar zodat de condensator ontlaadt via de spoel. De weerstand is gewoon een deel van de draden–Ik heb geen aparte weerstand.
Ik heb verschillende combinaties van condensatoren en spoelen geprobeerd en uiteindelijk kreeg ik iets dat werkte. In dit geval heb ik een 5 μF condensator gebruikt en een oude transformator voor mijn spoel (hierboven niet afgebeeld). Ik was niet zeker van de waarde van de zelfinductie, dus ik schatte gewoon de hoekfrequentie en gebruikte mijn bekende waarde van de capaciteit om een zelfinductie van 13,6 Henrys op te lossen. Voor de weerstand heb ik geprobeerd deze waarde te meten met een Ohm-meter, maar het gebruik van een waarde van 715 Ohm in mijn model leek het beste te werken.
Hier is een grafiek van zowel mijn numerieke model als de spanning zoals gemeten in de werkelijke schakeling (ik gebruikte een Vernier differentiële spanningssonde om de spanning als functie van de tijd te krijgen).
Het is geen perfecte fit – maar het komt voor mij dicht genoeg in de buurt. Het is duidelijk dat ik nog wat kan spelen met de parameters om een betere fit te krijgen, maar ik denk dat dit aantoont dat mijn model niet gek is.
Waarom een LRC-schakeling gebruiken?
Het belangrijkste kenmerk van deze LRC-schakeling is dat deze een natuurlijke frequentie heeft die afhangt van de waarden van L en C. Stel dat ik iets heel anders doe. Wat als ik een oscillerende spanningsbron op deze LRC-schakeling aansluit? In dat geval hangt de maximale stroom in de kring af van de frequentie van de oscillerende spanningsbron. Als de spanningsbron dezelfde frequentie heeft als de LC kring, krijg je de grootste stroom.
Hier zou je dit idee kunnen gebruiken:
De buis met het aluminiumfolie is een condensator en de buis met de omwikkelde draad is een spoel. Samen (met een diode en een oortje) vormen deze een kristalradio. Ja, ik heb dit in elkaar gezet met wat eenvoudige benodigdheden (ik volgde de instructies op deze YouTube video). Het basisidee is om de waarden van zowel de condensator als de spoel aan te passen om op een bepaald radiostation “af te stemmen”. Ik kreeg het niet helemaal aan de praat – ik denk dat er gewoon geen goede AM-radiostations in de buurt zijn (of misschien was mijn spoel waardeloos). Ik heb echter een oude kristalradio gevonden die iets beter werkte.
Ik heb één zender gevonden die ik nauwelijks kon horen, dus ik denk dat er een kans is dat mijn zelfgemaakte radio gewoon niet goed genoeg was om een zender op te pikken. Maar hoe werkt dat RLC-resonantiecircuit precies en hoe krijg je er een audiosignaal uit? Misschien bewaar ik dat voor een latere post.
