Co się stanie, gdy umieścisz cewkę indukcyjną i kondensator w obwodzie? Coś fajnego–i w zasadzie ważnego.
Co to jest cewka indukcyjna?
Możesz zrobić wiele różnych typów cewek, ale najbardziej powszechnym typem jest cylindryczny zwój drutu–cewka.
Gdy prąd płynie przez pierwszą pętlę, wytwarza pole magnetyczne, które przechodzi przez pozostałe pętle. Pole magnetyczne tak naprawdę nic nie robi, chyba że zmienia się jego wielkość. Zmieniające się pole magnetyczne wytworzy pole elektryczne w pozostałych pętlach. Kierunek tego pola elektrycznego spowoduje zmianę potencjału elektrycznego, który działa jak bateria.
W końcu mamy urządzenie, które ma różnicę potencjałów, która jest proporcjonalna do szybkości zmiany prądu w czasie (ponieważ prąd wytwarza pole magnetyczne). Można to zapisać jako:
W tym równaniu należy zwrócić uwagę na dwie rzeczy. Po pierwsze, L to indukcyjność. Zależy ona tylko od geometrii solenoidu (lub jakiegokolwiek innego kształtu, który posiadasz), a jej wartość mierzy się w Henry’m. Po drugie, jest to znak ujemny. Oznacza to, że zmiana potencjału w induktorze przeciwstawia się zmianie prądu.
Jak zachowuje się induktor w obwodzie? Jeśli mamy stały prąd, to nie ma żadnej zmiany (prąd stały), a więc nie ma różnicy potencjałów na cewce indukcyjnej – zachowuje się ona tak, jakby jej tam w ogóle nie było. Jeśli mamy prąd o wysokiej częstotliwości (obwód AC) to będzie duża różnica potencjałów na cewce indukcyjnej.
Co to jest kondensator?
Ponownie, istnieje wiele różnych konfiguracji kondensatora. Najprostszy kształt wykorzystuje dwie równoległe płyty przewodzące z ładunkiem elektrycznym na każdej płycie (ale ładunek netto wynosi zero).
Ładunek elektryczny na tych płytach tworzy pole elektryczne wewnątrz kondensatora. Ponieważ istnieje pole elektryczne, musi również nastąpić zmiana potencjału elektrycznego w poprzek płyt. Wartość tej różnicy potencjałów zależy od ilości ładunku. Różnica potencjałów w kondensatorze może być zapisana jako:
Tutaj C jest wartością pojemności w jednostkach Faradów – ona również zależy tylko od fizycznej konfiguracji urządzenia.
Jeśli do kondensatora płynie prąd, wartość ładunku na płytkach zmieni się. Jeśli jest stały (lub o niskiej częstotliwości) prąd, ten prąd będzie nadal dodawać ładunek do płyt, aby zwiększyć potencjał elektryczny, tak że z czasem ten potencjał będzie ostatecznie działać jak obwód otwarty z napięciem kondensatora równym napięciu baterii (lub zasilania). Jeśli masz prąd o wysokiej częstotliwości, ładunek będzie zarówno dodawany jak i odbierany z płyt w kondensatorze bez gromadzenia ładunku, a kondensator będzie działał tak, jakby go w ogóle nie było.
Co się stanie, gdy połączysz kondensator i cewkę indukcyjną?
Załóżmy, że zaczniemy od naładowanego kondensatora i podłączymy go do cewki indukcyjnej (bez oporu w obwodzie, ponieważ używam idealnych przewodów fizyki). Pomyśl o chwili, w której te dwa elementy są połączone. Załóżmy, że jest tam przełącznik, wtedy mogę narysować następujące schematy.
Oto co się dzieje. Najpierw nie ma prądu (ponieważ wyłącznik jest otwarty). Gdy przełącznik jest zamknięty, może pojawić się prąd i przy braku oporu prąd ten skoczy do nieskończoności. Jednak tak duży wzrost natężenia prądu oznacza zmianę potencjału elektrycznego wytwarzanego przez cewkę indukcyjną. W pewnym momencie zmiana potencjału na cewce będzie większa niż na kondensatorze (ponieważ kondensator traci ładunek wraz z przepływem prądu) i wtedy prąd odwróci kierunek i naładuje kondensator z powrotem. Proces powtarza się—na zawsze, ponieważ nie ma oporu.
Modelowanie obwodu LC.
Obwód LC nazywa się obwodem LC, ponieważ ma cewkę (L) i kondensator (C)—-myślę, że to oczywiste. Zmiana potencjału elektrycznego wokół całego obwodu musi być zerowa (bo to pętla), więc mogę napisać:
Zarówno Q jak i I zmieniają się w czasie. Pomiędzy Q i I istnieje związek polegający na tym, że prąd jest szybkością zmian w czasie, z jaką ładunek opuszcza kondensator.
Teraz mam równanie różniczkowe drugiego rzędu dla zmiennej ładunku. To nie jest takie trudne równanie do rozwiązania – w rzeczywistości mogę po prostu zgadywać rozwiązanie.
To jest całkiem podobne do rozwiązania dla masy na sprężynie (z wyjątkiem tego, że w tym przypadku zmienia się położenie, a nie ładunek). Ale zaraz! Nie musimy zgadywać rozwiązania, można również rozwiązać ten problem za pomocą obliczeń numerycznych. Zacznę od następujących wartości:
- C = 5 x 10-3 F
- L = 300 mH
- VC-0 = 3 V
- Q0 = 15 x 10-6 C (tę wartość otrzymasz z potencjału początkowego i pojemności)
Aby rozwiązać to numerycznie, podzielę problem na małe kroki czasowe. Podczas każdego kroku czasowego będę:
- Korzystać z powyższego równania różniczkowego, aby obliczyć drugą pochodną czasową ładunku (nazwę ją ddQ).
- Teraz, gdy znam ddQ, mogę użyć małego kroku czasowego do obliczenia pochodnej ładunku (dQ).
- Użyj wartości dQ, aby znaleźć nową wartość Q.
- Zwiększ czas i kontynuuj, dopóki się nie znudzę.
Tutaj jest to obliczenie w pythonie (kliknij przycisk odtwarzania, aby go uruchomić).
Myślę, że to całkiem fajne. Jeszcze lepiej, możesz zmierzyć okres oscylacji dla tego obwodu (użyj myszki do najechania i znalezienia wartości dla czasu), a następnie porównać to z oczekiwaną częstotliwością kątową używając:
Oczywiście możesz zmienić kilka rzeczy w tym programie i zobaczyć co się stanie— śmiało, nie zepsujesz niczego na stałe.
Włączając rezystancję—LRC Circuit
Powyższy model nie był realistyczny. Prawdziwe obwody (zwłaszcza długie przewody w induktorze) mają opór. Jeśli chciałbym włączyć ten opór do mojego modelu, obwód wyglądałby następująco:
To zmieni równanie pętli napięciowej. Teraz pojawi się również termin na spadek potencjału przez rezystor.
Mogę ponownie użyć związku między ładunkiem i prądem, aby otrzymać następujące równanie różniczkowe:
Po dodaniu rezystora, to równanie staje się znacznie trudniejsze i nie możemy po prostu „zgadywać” rozwiązania. Jednakże, nie powinno być zbyt trudno zmodyfikować nasze obliczenia numeryczne powyżej, aby rozwiązać ten problem. Naprawdę, jedyną rzeczą, która się zmienia jest linia, w której obliczana jest druga pochodna ładunku. Dodałem tam człon uwzględniający opór (ale nie pierwszego rzędu). Używając oporu 3 Ohm, otrzymuję następujące wyniki (ponownie, naciśnij play, aby go uruchomić).
Oto kilka rzeczy, które możesz wypróbować:
- Zmień wartość oporu. Jeśli wartość jest zbyt duża, prąd zanika zanim jeszcze pojawią się oscylacje.
- A co jeśli chcesz wykreślić prąd zamiast napięcia na kondensatorze? Zobacz, czy możesz to zrobić.
- A co z wykresem napięcia przez rezystor?
Tak, możesz również zmienić wartości C i L, ale uważaj. Jeśli będą one zbyt niskie, częstotliwość będzie bardzo wysoka i będziesz musiał zmienić wielkość kroku czasowego na coś mniejszego.
Realne obwody LRC
Kiedy tworzysz model (analitycznie lub numerycznie), czasami nie wiesz, czy jest on uzasadniony, czy całkowicie fałszywy. Jednym ze sposobów na przetestowanie modelu jest porównanie go z prawdziwymi danymi. Zróbmy to. Oto moja konfiguracja.
Tak to działa. Po pierwsze, używam trzech baterii D-cell do ładowania kondensatora. Mogę powiedzieć, kiedy jest prawie w pełni naładowany, patrząc na wartość napięcia na kondensatorze. Następnie odłączam baterie i zamykam przełącznik, aby kondensator rozładował się przez cewkę indukcyjną. Opór jest tylko częścią przewodów — nie mam oddzielnego opornika.
Próbowałem kilku różnych kombinacji kondensatorów i cewek i w końcu dostałem coś, co działało. W tym przypadku użyłem kondensatora 5 μF i starego, kiepsko wyglądającego transformatora jako cewki (nie pokazany powyżej). Nie byłem pewien co do wartości indukcyjności, więc po prostu oszacowałem częstotliwość kątową i użyłem znanej mi wartości pojemności, aby rozwiązać dla indukcyjności 13.6 Henrys. Dla oporu, próbowałem zmierzyć tę wartość za pomocą miernika Ohma, ale użycie wartości 715 Ohm w moim modelu wydawało się działać najlepiej.
Tutaj jest wykres zarówno z mojego modelu numerycznego jak i napięcia zmierzonego w rzeczywistym obwodzie (użyłem różnicowej sondy napięcia Vernier, aby uzyskać napięcie jako funkcję czasu).
To nie jest idealne dopasowanie–ale jest wystarczająco blisko dla mnie. Oczywiście, mógłbym pobawić się trochę z parametrami aby uzyskać lepsze dopasowanie, ale myślę, że to pokazuje, że mój model nie jest szalony.
Dlaczego używać obwodu LRC?
Kluczową cechą tego obwodu LRC jest to, że ma on pewną częstotliwość drgań własnych, która zależy od wartości L i C. Załóżmy, że zrobię coś trochę innego. Co jeśli podłączę oscylujące źródło napięcia do tego obwodu LRC? W takim przypadku maksymalny prąd w obwodzie zależy od częstotliwości oscylującego źródła napięcia. Gdy źródło napięcia ma taką samą częstotliwość jak obwód LC, otrzymujemy największy prąd.
Tutaj możesz wykorzystać ten pomysł:
Rurka z folią aluminiową jest kondensatorem, a rurka z owiniętym drutem jest cewką indukcyjną. Razem (z diodą i słuchawką) tworzą one radio kryształkowe. Tak, złożyłem to razem z kilku prostych materiałów (postępowałem zgodnie z instrukcjami na tym filmie YouTube). Podstawową ideą jest dostosowanie wartości kondensatora i cewki, aby „dostroić” się do konkretnej stacji radiowej. Nie udało mi się tego do końca zrobić – myślę, że po prostu nie ma żadnych dobrych stacji radiowych AM w okolicy (a może mój induktor był do bani). Znalazłem jednak ten stary zestaw radia kryształkowego, który działał trochę lepiej.
Znalazłem jedną stację, którą ledwo słyszałem, więc myślę, że jest szansa, że moje domowe radio po prostu nie było wystarczająco dobre, aby odebrać stację. Ale jak dokładnie działa ten obwód rezonansowy RLC i jak uzyskać z niego sygnał audio? Może zachowam to na późniejszy wpis.
