Oprezentacja macierzowa
Właściwie możemy przedstawić formułę Béziera używając mnożenia macierzowego, co może być przydatne w innych kontekstach, na przykład do podziału krzywej Béziera. Jeśli wrócimy do naszego przykładu, możemy przepisać P(t) w następujący sposób:
I tak wszystkie informacje o kwadratowej krzywej Béziera są zebrane w jednej macierzy, M. Teraz możemy chcieć znaleźć współczynniki tej macierzy bez konieczności wykonywania tych wszystkich kroków i w sposób, który jest łatwy do zaprogramowania. Ponieważ współczynniki macierzy są po prostu współczynnikami wielomianu znajdującego się przed każdym Pi, to czego szukamy to rozwinięta postać wielomianu Bernsteina eq. 2.
Jeszcze jedno: jeśli rozwiniemy Bi(t) otrzymamy wielomian znajdujący się przed Pi, który odpowiada i(tej) kolumnie macierzy. Nie jest to jednak zbyt wygodne i byłoby łatwiej programować, gdybyśmy mogli zamiast tego otrzymać wiersze. Zauważmy, że i(th) wiersz macierzy jest dokładnie taki sam jak odwrócona (n-i)(th) kolumna, a współczynniki odwróconej (n-i)(th) kolumny to nic innego jak współczynniki B(n-i)(t) wzięte w malejących potęgach t.
Możesz odwołać się do eq. 2 i eq. 3, jeśli masz jakieś kłopoty.
Więc współczynniki macierzy to nic innego jak współczynniki przed t, co oznacza:
Interpolacja
Jednym z ciekawych zastosowań krzywych Béziera jest rysowanie gładkiej krzywej przechodzącej przez zdefiniowany wcześniej zbiór punktów. Powodem, dla którego jest to interesujące jest to, że wzór P(t) tworzy punkty i nie jest postaci y=f(x), więc jeden x może mieć wiele y (w zasadzie funkcja, która może się „cofać”). Na przykład moglibyśmy narysować coś takiego:
Jednakże matematyka do uzyskania tego wyniku nie jest trywialna, więc napisałem dedykowany post dla tego:
.
