Ruch po okręgu

Rozważmy cząstkę poruszającą się po obwodzie okręgu z jednostajną prędkością, tak że co godzinę wykonuje jeden pełny obrót. Aby matematycznie opisać ten ruch, konstruujemy wektor od środka okręgu do cząstki. Następnie wektor ten wykonuje jeden pełny obrót co godzinę. Innymi słowy, wektor zachowuje się dokładnie tak, jak duża wskazówka w zegarku na rękę – jest to strzałka o stałej długości, która wykonuje jeden pełny obrót co godzinę. Ruch punktu wektora jest przykładem jednostajnego ruchu po okręgu, a okres T tego ruchu jest równy jednej godzinie (T = 1 h). Strzałka pokonuje w ciągu godziny kąt 2π radianów (jeden pełny okrąg). Częstotliwość tę nazywamy częstością kątową i zapisujemy ją jako ω = 2π h-1. Całkiem ogólnie, dla ruchu jednostajnego kołowego z dowolną prędkością,

Te definicje i zależności są takie same jak dla ruchu harmonicznego, omówionego powyżej.

Rozważmy układ współrzędnych, jak pokazano na rysunku 8A, z okręgiem wyśrodkowanym w punkcie początkowym. W dowolnej chwili czasu położenie cząstki może być określone przez podanie promienia r okręgu oraz kąta θ między wektorem położenia a osią x. Chociaż r jest stałe, to θ rośnie jednostajnie z czasem t, tak że θ = ωt, lub dθ/dt = ω, gdzie ω jest częstością kątową z równania (26). Inaczej jednak niż w przypadku zegarka na rękę, ω jest umownie dodatnie, gdy obrót odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wektor r ma składowe x i y określone przez

Jednym ze znaczeń równań (27) i (28) jest to, że gdy cząstka porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, jej składowe x i y ulegają ruchowi harmonicznemu prostemu. Nie są one jednak ze sobą w fazie: w chwili, gdy x ma maksymalną amplitudę (powiedzmy, w θ = 0), y ma zerową amplitudę i na odwrót.

W krótkim czasie, Δt, cząstka porusza się rΔθ po obwodzie koła, jak pokazano na rysunku 8B. Średnia prędkość cząstki jest więc dana przez

Średnia prędkość cząstki jest wektorem danym przez

Ta operacja odejmowania wektorów jest zaznaczona na rysunku 8B. Otrzymujemy wektor, który jest prawie prostopadły do r(t) i r(t + Δt). Rzeczywiście, prędkość chwilowa, znaleziona przez pozwolenie, by Δt skurczyła się do zera, jest wektorem v, który jest prostopadły do r w każdej chwili i którego wielkość wynosi

Zależność między r i v jest pokazana na rysunku 8C. Oznacza to, że prędkość chwilowa cząstki jest zawsze styczna do okręgu.

Zauważmy, że tak jak wektor położenia r może być opisany za pomocą składowych x i y danych równaniami (27) i (28), tak wektor prędkości v może być opisany za pomocą jego rzutów na osie x i y, danego przez

Wyobraźmy sobie nowy układ współrzędnych, w którym wektor o długości ωr rozciąga się od początku i wskazuje w każdej chwili ten sam kierunek co v. Konstrukcja ta jest pokazana na rysunku 8D. Za każdym razem, gdy cząstka zatacza pełny okrąg, wektor ten również zatacza pełny okrąg. W rzeczywistości jego punkt wykonuje jednostajny ruch okrężny z tą samą częstotliwością kątową, co sama cząstka. Ponieważ wektory mają wielkość i kierunek, ale nie położenie w przestrzeni, wektorem, który został skonstruowany jest prędkość v. Prędkość cząstki jest sama w sobie poddawana jednostajnemu ruchowi okrężnemu z częstotliwością kątową ω.

Chociaż prędkość cząstki jest stała, cząstka jest jednak przyspieszana, ponieważ jej prędkość ciągle zmienia kierunek. Przyspieszenie a jest dane wzorem

Ponieważ v jest wektorem o długości rω poddanym ruchowi jednostajnemu po okręgu, równania (29) i (30) można powtórzyć, co zilustrowano na rysunku 8E, dając

Tak więc, można stwierdzić, że przyspieszenie chwilowe jest zawsze prostopadłe do v, a jego wielkość wynosi

Ponieważ v jest prostopadłe do r, a a jest prostopadłe do v, wektor a jest obrócony o 180° względem r. Innymi słowy, przyspieszenie jest równoległe do r, ale w przeciwnym kierunku. Do tego samego wniosku można dojść uświadamiając sobie, że a ma składowe x i y dane przez

podobne do równań (32) i (33). Gdy równania (38) i (39) porównamy z równaniami (27) i (28) dla x i y, to okaże się, że składowe a są tylko składowymi r pomnożonymi przez -ω2, tak że a = -ω2r. Przyspieszenie to nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym, co oznacza, że jest ono skierowane do wewnątrz, wzdłuż wektora promienia w kierunku środka okręgu. Czasami użyteczne jest wyrażenie przyspieszenia dośrodkowego w postaci prędkości v. Korzystając z v = ωr, można zapisać