school energy&environment

Liczby natury: ciąg Fibonacciego

Sekwencja Fibonacciego zawsze przyciągała uwagę ludzi, ponieważ oprócz szczególnych własności matematycznych, inne liczby tak wszechobecne jak liczby Fibonacciego nie istnieją nigdzie indziej w matematyce: pojawiają się w geometrii, algebrze, teorii liczb, w wielu innych dziedzinach matematyki, a nawet w przyrodzie! Dowiedzmy się razem, co to jest…

Życie Fibonacciego
Leonardo Pisano, zwany Fibonaccim (Fibonacci to skrót od filius Bonacii), urodził się w Pizie około 1170 roku. Jego ojciec, Guglielmo dei Bonacci, zamożny kupiec pisański i przedstawiciel kupców Republiki Pizy w rejonie Bugii w Cabilii (we współczesnej północno-wschodniej Algierii), po 1192 roku zabrał syna ze sobą, gdyż chciał, aby Leonardo został kupcem.

Dostał więc Leonardo na studia, pod okiem muzułmańskiego nauczyciela, który pokierował go w nauce technik obliczeniowych, szczególnie tych dotyczących liczb indoarabskich, które nie były jeszcze wprowadzone w Europie. Edukacja Fibonacciego rozpoczęła się w Bejaia i była kontynuowana również w Egipcie, Syrii i Grecji, miejscach, które odwiedził wraz z ojcem na szlakach handlowych, zanim około 1200 roku powrócił na stałe do Pizy. Przez następne 25 lat Fibonacci poświęcił się pisaniu manuskryptów matematycznych: spośród nich Liber Abaci (1202), dzięki któremu Europa poznała liczby indoarabskie, Practica Geometriae (1220), Flos (1225) i Liber Quadratorum (1225) są nam dziś znane.
Recenzja Leonarda jako matematyka stała się tak wielka, że cesarz Federico II poprosił go o audiencję podczas pobytu w Pizie w 1225 roku. Po 1228 r. niewiele wiadomo o życiu Leonarda, poza tym, że otrzymał tytuł „Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” w uznaniu wielkiego postępu, jaki poczynił w matematyce. Fibonacci zmarł gdzieś po 1240 roku, przypuszczalnie w Pizie.

Króliki Fibonacciego i słynna sekwencja
Liber Abaci, oprócz odniesienia do liczb indoarabskich, które następnie zajęły miejsce cyfr rzymskich, zawierał również duży zbiór problemów adresowanych do kupców, dotyczących cen produktów, obliczania zysku z działalności gospodarczej, przeliczania walut na różne monety używane w państwach śródziemnomorskich, a także inne problemy pochodzenia chińskiego. Obok tych problemów handlowych istniały inne, znacznie bardziej znane, które również wywarły wielki wpływ na późniejszych autorów. Wśród nich najbardziej znany, będący źródłem inspiracji dla wielu matematyków późniejszych wieków, jest następujący: „Ile par królików urodzi się w ciągu roku, począwszy od jednej pary, jeśli co miesiąc każda para rodzi nową parę, która staje się rozrodcza od drugiego miesiąca?”. Rozwiązaniem tego problemu jest słynny „ciąg Fibonacciego”: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… ciąg liczb, w którym każdy człon jest sumą dwóch poprzednich.

Ważną cechą tego ciągu jest fakt, że stosunek dowolnej liczby do poprzedniej w szeregu dąży do ściśle określonej wartości: 1,618… Jest to złota proporcja lub złoty odcinek, φ (Phi), który często występuje w przyrodzie (aby dowiedzieć się więcej: Doskonałość ślimaka).
Gdy Fibonacci zilustrował ten ciąg, jako rozwiązanie problemu „matematyki rekreacyjnej”, nie nadał mu szczególnej wagi. Dopiero w 1877 roku matematyk Édouard Lucas opublikował szereg ważnych badań na temat tej sekwencji, którą, jak twierdził, znalazł w Liber Abaci i którą, na cześć autora, nazwał „sekwencją Fibonacciego”. Badania następnie mnożyły się, a liczne i nieoczekiwane właściwości tego ciągu zostały odkryte do tego stopnia, że od 1963 roku wydawane jest czasopismo poświęcone wyłącznie temu ciągowi, „The Fibonacci quarterly”.

Sekwencja Fibonacciego w przyrodzie
Obserwując geometrię roślin, kwiatów czy owoców, łatwo rozpoznać obecność powtarzających się struktur i form. Ciąg Fibonacciego odgrywa na przykład istotną rolę w filotaksji, która bada układ liści, gałęzi, kwiatów czy nasion w roślinach, a jej głównym celem jest podkreślenie istnienia regularnych wzorów. Różnorodne układy elementów przyrody podlegają zaskakującym matematycznym prawidłowościom: D’arcy Thompson zaobserwował, że królestwo roślin ma osobliwą preferencję dla określonych liczb i dla pewnych spiralnych geometrii, oraz że te liczby i geometrie są ze sobą ściśle powiązane.
Możemy łatwo znaleźć numery ciągu Fibonacciego w spiralach utworzonych przez poszczególne kwiaty w złożonych kwiatostanach stokrotek, słoneczników, kalafiorów i brokułów.

To Kepler zauważył, że na wielu rodzajach drzew liście są ułożone we wzór, który zawiera dwie liczby Fibonacciego. Zaczynając od dowolnego liścia, po jednym, dwóch, trzech lub pięciu obrotach spirali zawsze jest liść wyrównany z pierwszym i, w zależności od gatunku, będzie to drugi, trzeci, piąty, ósmy lub trzynasty liść.

Inny prosty przykład, w którym możliwe jest znalezienie ciągu Fibonacciego w przyrodzie, jest podany przez liczbę płatków kwiatów. Większość z nich ma trzy (jak lilie i irysy), pięć (parnassia, róże) lub osiem (cosmea), 13 (niektóre stokrotki), 21 (cykoria), 34, 55 lub 89 (asteraceae). Liczby te są częścią słynnego ciągu Fibonacciego opisanego w poprzednim paragrafie.

By Benedetta Palazzo

.