Archimedische Spiralen werden häufig bei der Analyse von Induktionsspulen, Spiralwärmetauschern und mikrofluidischen Geräten verwendet. Heute werden wir zeigen, wie man eine archimedische Spirale mithilfe analytischer Gleichungen und ihrer Ableitungen konstruiert, um eine Reihe von Spiralkurven zu definieren. Auf der Grundlage dieser Kurven werden wir dann eine 2D-Geometrie mit einer bestimmten Dicke erstellen und sie zu einer vollständigen 3D-Geometrie extrudieren.
Eine kurze Einführung in archimedische Spiralen
Wie in der Natur weit verbreitet, werden Spiralen oder Helices in vielen technischen Konstruktionen verwendet. Als Elektroingenieur kann man zum Beispiel induktive Spulen spiralförmig wickeln und spiralförmige Antennen entwerfen. Als Maschinenbauingenieur können Sie Spiralen bei der Konstruktion von Federn, schraubenförmigen Zahnrädern oder sogar dem unten abgebildeten Uhrwerk verwenden.
Ein Beispiel für eine archimedische Spirale, die in einem Uhrwerk verwendet wird. Image by Greubel Forsey. Licensed by CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons.
Hier konzentrieren wir uns auf eine bestimmte Art von Spirale, die in dem oben gezeigten Mechanismus verwendet wird: eine archimedische Spirale. Eine archimedische Spirale ist eine Art von Spirale, die einen festen Abstand zwischen ihren aufeinanderfolgenden Windungen hat. Aufgrund dieser Eigenschaft wird sie häufig bei der Konstruktion von flachen Spulen und Federn verwendet.
Eine archimedische Spirale lässt sich mit der folgenden Gleichung in Polarkoordinaten beschreiben:
wobei a und b Parameter sind, die den anfänglichen Radius der Spirale und den Abstand zwischen ihren aufeinanderfolgenden Windungen definieren, wobei letzterer gleich 2 \pi b ist. Man beachte, dass eine archimedische Spirale manchmal auch als arithmetische Spirale bezeichnet wird. Dieser Name leitet sich von der arithmetischen Progression des Abstandes vom Ursprung zu einem Punkt auf derselben Radialen ab.
Entwerfen einer parametrisierten archimedischen Spiralgeometrie
Nachdem wir nun die archimedischen Spiralen eingeführt haben, wollen wir uns ansehen, wie man eine solche Konstruktion parametrisiert und für die Analyse in COMSOL Multiphysics erstellt.
Eine archimedische Spirale kann sowohl in polaren als auch in kartesischen Koordinaten beschrieben werden.
Zu Beginn müssen wir die Gleichungen der Spirale von einem polaren in ein kartesisches Koordinatensystem umwandeln und jede Gleichung in einer parametrischen Form ausdrücken:
x_{Komponente}=rcos(\theta) \\
y_{Komponente}=rsin(\theta)
\end{align*}
Diese Transformation erlaubt es uns, die Gleichung der Archimedischen Spirale in einer parametrischen Form im kartesischen Koordinatensystem umzuschreiben:
x_{Komponente}=(a+b\theta)cos(\theta) \\\
y_{Komponente}=(a+b\theta)sin(\theta)
\end{align*}
In COMSOL Multiphysics ist es notwendig, eine Reihe von Parametern zu bestimmen, die die Geometrie der Spirale definieren werden. Diese Parameter sind der Anfangsradius der Spirale a_{initial}, der Endradius der Spirale a_{final} und die gewünschte Anzahl der Windungen n. Die Wachstumsrate der Spirale b kann dann wie folgt ausgedrückt werden:
Weiterhin müssen wir über den Startwinkel theta_0 und den Endwinkel theta_f der Spirale entscheiden. Beginnen wir mit den Werten theta_0=0 und theta_f=2 \pi n. Mit diesen Informationen sind wir in der Lage, eine Reihe von Parametern für die Spiralgeometrie zu definieren.
Die Parameter, die zum Aufbau der Spiralgeometrie verwendet werden.
Um diese Spirale aufzubauen, beginnen wir mit einer 3D-Komponente und erstellen eine Arbeitsebene im Geometriezweig. In der Geometrie der Arbeitsebene fügen wir dann eine parametrische Kurve hinzu und verwenden die oben erwähnten parametrischen Gleichungen mit einem variablen Winkel, um eine 2D-Version der archimedischen Spirale zu zeichnen. Diese Gleichungen können direkt in das Feld Ausdruck der parametrischen Kurve eingegeben werden, oder wir können zunächst jede Gleichung in einer neuen analytischen Funktion wie folgt definieren:
X_{fun}=(a+bs)cos(s) \\\
Y_{fun}=(a+bs)sin(s) \\\
\end{align*}
Die X-Komponente der Gleichung der Archimedischen Spirale, definiert in der Analytischen Funktion.
Die analytische Funktion kann in den Ausdrücken für die parametrische Kurve verwendet werden. In dieser parametrischen Kurve variieren wir den Parameter s vom Anfangswinkel der Spirale, theta_0, bis zum Endwinkel der Spirale, theta_f=2 \pi n.
Die Einstellungen für die Funktion Parametrische Kurve.
Die in der Funktion Parametrische Kurve verwendeten Gleichungen für die parametrische Spirale führen zu einer Spirale, die durch eine Kurve dargestellt wird. Bauen wir nun auf dieser Geometrie auf und fügen wir die Dicke hinzu, um ein 2D-Volumenobjekt zu erzeugen.
Bis zu diesem Punkt wurde unsere Spirale durch den Anfangsradius a_{Anfang}, den Endradius a_{Ende} und die gewünschte Anzahl der Windungen n parametrisiert. Nun müssen wir die Dicke als weiteren Kontrollparameter in die Spiralgleichung einbeziehen.
Beginnen wir mit der Haupteigenschaft der Spirale, die besagt, dass der Abstand zwischen den Spiralwindungen gleich 2 \pi b ist. Dies ist auch äquivalent zu \frac{a_{final}-a_{initial}}{n}. Um die Dicke zu berücksichtigen, stellen wir den Abstand zwischen den einzelnen Windungen der Spirale als Summe der Spiraldicke und des verbleibenden Spalts zwischen den Windungen, dick+Spalt, dar.
Der Abstand zwischen den Spiralwindungen wird durch die Parameter Spiraldicke und Spalt definiert.
Um die Dicke zu kontrollieren und den gleichen Abstand zwischen den Windungen zu erhalten, kann der Abstand wie folgt ausgedrückt werden:
distance=\frac{a_{initial}-a_{final}}{n} \\
Abstand=Abstand-Dicke
\Ende{align*}
Nachdem wir die Dicke definiert und den Abstand zwischen den Windungen in Form von Dicke und konstantem Abstand zwischen den Mittellinien der Spirale ausgedrückt haben, können wir den Wachstumsparameter der Spirale in Form der Dicke wie folgt umschreiben:
distance=2\pi b \\\
b=\frac{gap+thick}{2\pi}
\end{align*}
Wir wollen auch den Endwinkel der Spirale in Form ihrer Anfangs- und Endradien ausdrücken:
\theta_{final}=2 \pi n \\\
a_{final}=\text{gesamter Abstand}+a_{initial} \\
a_{final}=2 \pi bn+a_{initial} \\
n=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi b} \\\
\theta_{final}=\frac{2 \pi (a_{final}-a_{initial})}{2 \pi b} \\
\theta_{final}=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b}
\end{align*}
Wollen Sie die Spirale von einem anderen Winkel als Null beginnen? Wenn ja, müssen Sie diesen Anfangswinkel zu Ihrem Endwinkel im Ausdruck für den Parameter hinzufügen: theta_f=\frac{a_{end}-a_{anfang}}{b}+theta_0.
Durch zweimaliges Duplizieren der vorhandenen Spiralkurve und Platzieren dieser Kurven mit einem Versatz von -\frac{dick}{2} und +\frac{dick}{2} in Bezug auf die anfängliche Spiralkurve können wir die Spirale mit Dicke aufbauen. Um die obere und untere Spirale richtig zu positionieren, müssen wir sicherstellen, dass die versetzten Spiralen normal zur anfänglichen Spiralkurve stehen. Dies kann erreicht werden, indem der Versatzabstand \pm\frac{thick}{2} mit dem Einheitsvektor normal zur Spiralkurve multipliziert wird. Die Gleichungen der Normalenvektoren zu einer Kurve in parametrischer Form sind:
wobei s der in der Funktion Parametrische Kurve verwendete Parameter ist. Um eine Einheitsnormale zu erhalten, müssen wir diese Ausdrücke durch die Länge der Normalen teilen:
Unsere aktualisierten parametrischen Gleichungen für die Archimedische Spirale mit einer Halbdickenverschiebung sind:
x_{component}=(a+bs)cos(s)-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2} \\
y_{Komponente}=(a+bs)sin(s)+\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2}
\end{align*}
Das Ausschreiben dieser Gleichungen in den Ausdrucksfeldern der parametrischen Kurve kann recht zeitaufwendig sein. Daher führen wir die folgende Notation ein:
N_x=-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}} \\
N_y=\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2 }}
\end{align*}
wobei jedes N_x und N_y über die analytische Funktion in COMSOL Multiphysics definiert wird, ähnlich wie wir X_{fun} und Y_{fun} für die erste parametrische Kurve definiert haben. Innerhalb der Funktion verwenden wir den Differenzierungsoperator d(f(x),x), um die Ableitung zu nehmen, wie im folgenden Screenshot dargestellt.
Beispiele für den in der Analytic-Funktion verwendeten Ableitungsoperator.
Die Funktionen X_{fun}, Y_{fun}, N_x und N_y können dann direkt in den Ausdrücken der parametrischen Kurve für die Kurve auf einer Seite verwendet werden:
x_{lower}=X_{fun}(s)+N_x(s)\frac{thick}{2} \\
y_{lower}=Y_{fun}(s)+N_y(s)\frac{thick}{2}
\end{align*}
Die Funktionen können auch für die Kurve auf der anderen Seite verwendet werden:
x_{ober}=X_{fun}(s)-N_x(s)\frac{thick}{2} \\
y_{Ober}=Y_{fun}(s)-N_y(s)\frac{thick}{2}
\end{align*}
Gleichungen für die zweite der beiden versetzten parametrischen Kurven.
Um die Enden zweier Kurven zu verbinden, fügen wir zwei weitere parametrische Kurven hinzu, wobei wir eine leichte Modifikation der oben genannten Gleichungen verwenden. Für die Kurve, die die Mitte der Spirale verbindet, müssen wir X_{fun}, Y_{fun}, N_x und N_y für den Anfangswert des Winkels theta auswerten. Für die Kurve, die sich an die Außenseite der Spirale anschließt, müssen wir den Endwert von theta auswerten. Daher ist die Verbindungskurve in der Mitte:
X_{fun}(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \\
Y_{fun}(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot\frac{thick}{2}
\end{align*}
Die äußere Verbindungskurve ist dagegen:
X_{fun}(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \\
Y_{fun}(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot\frac{thick}{2}
\end{align*}
In beiden obigen Gleichungen geht s von -1 bis +1, wie im Screenshot unten gezeigt.
Gleichungen für die Kurve, die ein Ende der Spirale verbindet.
Wir haben jetzt fünf Kurven, die die Mittellinie der Spirale und alle vier Seiten des Profils definieren. Wir können die Kurve, die die Mittellinie beschreibt, deaktivieren (oder sogar löschen), da sie nicht wirklich notwendig ist, so dass nur der Spiralumriss übrig bleibt. Nachdem der Umriss unserer Spirale definiert wurde, kann die Operation In Solid konvertieren verwendet werden, um ein einzelnes Geometrieobjekt zu erstellen. Diese 2D-Spirale kann schließlich über die Operation Extrudieren in 3D extrudiert werden.
Die vollständige Geometriesequenz und die extrudierte 3D-Spiralgeometrie.
Abschließende Bemerkungen zur Modellierung archimedischer Spiralen in COMSOL Multiphysics
Wir haben Sie durch die Schritte zur Erstellung einer vollständig parametrisierten archimedischen Spirale geführt. Mit dieser Spiralgeometrie können Sie jeden der Parameter ändern und mit verschiedenen Designs experimentieren oder sie sogar als Parameter in einer Optimierungsstudie verwenden. Wir möchten Sie ermutigen, diese Technik in Ihren eigenen Modellierungsprozessen zu verwenden, um die Analyse Ihres speziellen spiralbasierten technischen Designs voranzutreiben.
